第一，从理论上说，波动率只代表标的物价格的波动幅度，而并不代表标的物价格的波动方向。因而，无论对期权购买者而言，还是对期权出售者而言，标的物价格的波动率都具有两面性。也就是说，标的物价格的这种波动既可能对他有利，也可能对他不利。但是，由于期权购买者与期权出售者之间有着不对称的权利和义务关系，因而在实际上，标的物价格的波动，特别是较大幅度的波动，往往对期权购买者有利，而对期权出售者不利。之所以如此，是因为对期权购买者而言，若标的物价格的波动对他有利，从而使他持有的虚值期权或平价期权变成实值期权，或者使他持有的实值期权进一步增加内在价值，则他可执行期权；而若标的物价格的波动对他不利，从而使他持有的实值期权因丧失内在价值而变成平价期权或虚值期权，则他可放弃期权。因此，就总体而言，波动率越大，对期权购买者越有利；相反，波动率越大，对期权出售者却越不利。之所以对期权出售者不利，是因为波动率越大，他所承受的风险也越大。所以，在标的物价格的波动率增大时，期权费的增加实是对期权出售者承担更大风险的一种补偿。
第二，与决定和影响期权价格的其他因素不同，在期权定价时，标的物价格在期权有效期内的波动率还是一个未知数。因此，在期权定价中，标的物价格的波动率，都只能通过人们对未来的价格波动程度的估计而求得。在现实生活中，人们估计波动率的方法主要有两种：一种是利用过去所观察到的标的物价格波动的资料，来估计未来的波动率，通过这一方法求得的波动率被称为“历史波动率”；另一种方法则是利用期权定价模型，通过将已知的各数代入模型而推算出波动率，这一被推算出来的波动率被称为“隐含波动率”。
（五）标的资产的收益率
许多金融期权的标的物都有相应的收益，如股票有红利、债券有利息等，这些收益自然归这些标的资产的持有者所有。在金融期权交易中，期权购买者如买进某标的资产的看涨期权，则在执行期权前，他尚未持有该期权的标的资产，从而他也不能获得该标的资产的收益；相反，如果期权购买者买进某标的资产的看跌期权，则在期权被执行前，他通常持有该期权的标的资产，从而可获得来自该标的资产的收益。对期权出售者而言，如果他出售的是看涨期权，且是有担保的看涨期权，则在该期权被执行前，他因持有标的资产而可获得来自该标的资产的收益；相反，如果他出售的是看跌期权或无担保的看涨期权，则在期权被执行前，他因并不持有标的资产而得不到来自这一标的资产的收益。
标的资产的收益将影响标的资产的价格。而在协定价格一定时，标的资产的价格又必然影响金融期权的内在价值，从而影响金融期权的价格。一般地说，标的资产的收益率越高，看涨期权的价格越低，而看跌期权的价格越高。
由以上分析可知，决定和影响期权价格的因素很多，各因素对期权价格的影响也很复杂。特别是其中的某些因素在不同时间和不同条件下，对期权价格也会有不同的影响。
第二节 Black Scholes期权定价模型
自从期权交易产生以来，尤其是股票期权交易产生以来，人们就一直致力于对期权定价问题的探讨。但在1973年之前，这种探讨始终未能得出令人满意的结果。其中一个最难以解决的问题，就是无法适当地描述标的物价格的波动率及其对期权价格的影响。1973年，美国经济学家 Fischer Black和 Myron Scholes发表“期权定价与公司负债”一文，提出了一个适用于欧式股票看涨期权的定价模型，为金融期权的定价理论奠定了坚实的基础。其后，随着期货期权的发展，Black又在现货看涨期权定价模型的基础上，经过一定的修正，而提出了一个适用于期货看涨期权的定价模型。然后，其他经济学家又根据看跌期权与看涨期权的平价关系而推出了适用于看跌期权的定价模型。
一、Black Scholes模型的假设条件
Black Scholes模型有如下七个假设条件：
（1）在期权到期前，标的资产无任何收益（如利息、红利等）的支付。于是，标的资产价格的变动是连续的，且是均匀的，既无跳空上涨，也无跳空下跌。
（2）存在着一个固定的无风险利率，投资者可以此利率无限制地借入或贷出。
（3）不存在影响收益的任何外部因素，如税收、交易成本及保证金等。于是，标的物持有者的收益仅来源于价格的变动。
（4）所有证券都可无限细分。
（5）投资者可以卖空证券。
（6）不存在无风险的套利机会。
（7）标的资产价格的变动符合几何布朗运动。
二、现货看涨期权的定价模型
在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes得出如下适用于欧式股票看涨期权的定价模型。
可以看到，除标的资产的收益率外，其中在第一节所分析的影响期权价格的各因素（S、X、r、T、σ）都已出现了。而标的资产的收益率之所以不出现，是因为该模型已假设在期权有效期内标的资产无任何收益的支付（见上述假设1）。
三、期货看涨期权的定价模型
如本书第六章所述，金融期权有现货期权与期货期权之分。现货期权与期货期权有着不同的交易规则，因而这两类期权也有着不同的定价方法。上述定价模型只适用于现货看涨期权（实际上只适用于无收益支付的股票看涨期权），而并不适用于期货看涨期权。为了说明期货看涨期权的定价问题，Black于1976年将上述的式（84）和式（85）作了适当的改动，从而形成了适用于期货看涨期权的定价模型。根据这一模型，我们可清楚地看出期货价格的波动率对期货看涨期权价格的影响。很显然，在标的期货的价格稳定不变的条件下，期货看涨期权的价格是以无风险利率贴现的内在价值的现值。
四、看跌期权的定价模型
以上所述的 Black Scholes模型只能适用于看涨期权，而不能适用于看跌期权。然而，通过看跌期权与看涨期权的平价关系，我们即可利用看涨期权的价格，来推算出相同标的物、相同到期日和相同协定价格的看跌期权的价格。
所谓“看跌期权与看涨期权的平价关系”，是指当看跌期权的价格与看涨期权的价格正处于无套利机会的均衡状态时的价格关系。如果这一价格关系被打破，则在这两种价格之间就会产生一种无风险的套利机会。于是，套利者必将通过套利行为，而把那种不正常的价格关系拉回到正常水平。
例如，某债券的市场价格为100美元，以该债券为标的物、协定价格为100美元、权利期间为3个月的看涨期权的价格为2.85美元。而与此同时，条件完全相同的看跌期权的价格却只有2.35美元。在这种情况下，投资者只需作如下交易，即可取得0.50美元的无风险利润。
（1）卖出看涨期权，收取期权费2.85美元；（2）买进看跌期权，支付期权费2.35美元；（3）买进现货债券，支付价款100美元。
我们可以看出，在期初，该投资者通过买进看跌期权而卖出看涨期权，即可获得期权费净收入0.50美元。而在期末，标的债券的市场价格将有如下三种可能的情况：一是等于协定价格；二是高于协定价格；三是低于协定价格。若债券的市场价格等于协定价格，则两期权均被放弃，投资者将以100美元的市场价格卖出其持有的债券；若债券的市场价格高于协定价格，则看涨期权将被执行，投资者以100美元的协定价格卖出其持有的债券；若债券的市场价格低于协定价格，则看跌期权将被执行，投资者以100美元的协定价格卖出其持有的债券。可见，无论在哪一种情况下，投资者都将以100美元的价格卖出其持有的债券。因此，期初的期权费净收入0.50美元就是投资者从事该套利行为而取得的利润。如以ST为期权到期日债券的市场价格，X为协定价格，则该套利的过程和结果。
在本例中，投资者所建立的套利部位被称为“转换”，它是一种无风险的套利策略。之所以是一种无风险的套利策略，是因为在协定价格正好等于标的物之市场价格，且不考虑货币的时间价值时，看涨期权的价格理应与条件完全相同的看跌期权的价格相等，否则就会产生无风险的套利机会。如上例就属于这种情况。
那么，在协定价格与标的物之市场价格不同时，看涨期权的价格与条件完全相同的看跌期权的价格之间，是否也可能存在着无风险的套利机会呢？其答案也同样是肯定的。
在本书的第九章，我们将说明一种被称为“合成”的策略。其中指出，投资者买进看跌期权，而同时又卖出相同条件的看涨期权，则相当于以一定价格卖出标的物。在这里，“一定的价格”就取决于两种期权之协定价格与标的物之市场价格的关系。若市场价格高于协定价格，则投资者所买进的看跌期权为一虚值期权，而他所卖出的看涨期权为一实值期权，故合成卖出标的物的价格为协定价格与期权费净收入之和。反之，若市场价格低于协定价格，则投资者所买进的看跌期权为一实值期权，而他所卖出的看涨期权为一虚值期权，故合成卖出标的物的价格为协定价格与期权费净支出之差。如果在现货市场上，标的物的实际价格正好等于合成卖出标的物的价格，则无风险套利机会就不存在。在这种情况下，看跌期权的价格与看涨期权的价格就处于合理的、均衡的平价状态。用公式表示。就反映了看跌期权与看涨期权的平价关系。但在这里，我们忽略了这样一个问题，即货币的时间价值。在上述例子中，之所以认为投资者有0.50美元的无风险利润可得，是因为在任何情况下，投资者在期初以100美元的价格买进的债券，在期权到期时都可以100美元的价格卖出。但事实上，如以一定的利率来加以贴现，则期末所得的100美元的现值必小于期初所付的100美元的现值。这样，该投资者在交易中也就未必能获利。而期末所得的100美元的现值是由期权之协定价格，以及相应的利率和期限所决定的。因此，若考虑货币的时间价值这一因素，则式（811）应改写为P＝C-S＋PV（X）（812）在式（812）中，PV（X）为协定价格之现值。在期权交易中，此现值系协定价格与连续复利因子之倒数的积。如看涨期权的定价模型一样，式（815）也只适用于现货看跌期权，而不适用于期货看跌期权。这是因为，期货期权与现货期权相比，其看跌期权与看涨期权的平价关系也是不同的。
第三节 二项式定价模型
Black Scholes模型的提出，对期权定价问题的研究而言，确实是一个开创性的成就。然而，由于该模型涉及比较高深而又复杂的数学运算，因而对一般投资者而言，它既难于理解，也难于操作。于是，它在期权交易实务中的运用受到了一定的限制。有鉴于此，考克斯（ Cox）、罗斯（Ross）和鲁宾斯坦于1979年发表“期权定价：一种被简化的方法”一文，用一种比较浅显的方法导出了期权定价模型。他们的这一模型被称为“二项式模型”，也称“二叉树模型”。
根据Black Scholes模型的假设，标的物价格处于无时无刻的变动之中，即使在一个极短的时间内也是如此。所以，在经过一段时间（哪怕是极短的时间），标的物价格既可能上涨，也可能下跌，而不可能不变。二项式模型正是在这一假设下展开分析的。
一、单期间模型
如上所述，Black Scholes模型假设期权之标的物的价格呈现出一个连续变动的过程。而二项式模型则将这一连续变动的过程分割为若干个时段，然后加以分时段的处理。为便于理解，我们将从一种最简单的模型--单期间模型开始分析。
假设某看涨期权的标的物价格为S，该期权离到期日只有一期。在期权到期日，标的物价格既可能上涨到原来的狌倍，也可能下跌到原来的d倍，这两种变动的概率分别为P和（1-P）。于是，标的物价格的变动情况就可用一种二叉树。
在此单期间模型中，如果目前的看涨期权价值为C，协定价格为X，标的物价格上涨后和下跌后的看涨期权价值。
在这里，目前看涨期权的价值C尚是一个未知数，二项式模型所要求出的正是这里的C。
与Black Scholes模型一样，二项式模型也假设不存在无风险的套利机会。根据这一假设，可推导出一个计算期货看涨期权价值的基本公式。
