3.代数方面：首先证明了阶数超过了的矩阵有特征值；与比内同时发现两行列式相乘的公式，首先明确提出置换群概念，并得到群论中的一些非平凡的结果；独立发现了所谓“代数要领”，即格拉斯曼的外代数原理。
高斯的继承者——狄里克雷
应该说狄里克雷是现代数学的真正远祖，他是头一个在数学中重视概念，并有意识地“以概念来代替运算”的人。函数是分析学中的基本概念，“函数”一词首先是莱布尼兹使用的，他只是用来叙述依赖于曲线的几何量，而第一个不受几何意义约束的函数定义来自雅各·伯努利（1698年）：“由变量x和常数所构成的式子叫做x的函数。”1748年，欧拉将函数定义为由一个变量和一些常量，通过任何方式形成的解析表达式。1775年，他又给出了“一个变量依赖于另一个变量”的定义。以后，柯西、拉格朗日、罗巴切夫斯基又给予了推广。但函数更确切的定义是由狄里克雷给出的。1829年他给出了狄里克雷函数：
y=0，当x为有理数1，当x为无理数
这个函数虽不复杂，但不能用解析式表示。这一思想的提出，正是数学由过去的研究“算”到以后研究“概念、性质、结构”的转变的开端，所以意义很大。1837年他给出函数定义：如果对于给定区间上的每一个x的值，有惟一的一个y值与它对应，那么y是x的一个函数。他接着说，至于整个区间上的y是否按照一种或多种规律依赖于x，或者y依赖于x是否可用数学运算来表示，无关紧要。狄里克雷的函数定义成了我们现在仍沿用的传统定义。在数学中还有许多概念和原理都与狄里克雷的名字联系在一起，如狄里克雷级数、狄里克雷原理、狄里克雷问题、狄里克雷条件等。
在分析方面，他最卓越的工作是对傅里叶级数收敛性的研究。1829年他在论文《关于三角级数的收敛性》中，第一次对傅里叶级数的收敛性给出了严格的证明，得到了傅里叶级数收敛的第一个充分条件，这一研究还促使他将函数作了一般化的推广，给出了现在仍在使用的函数定义。1829年，他给出了如下具有典型意义的例子：
这种与传统迥然不同的函数表示方式正是数学上从研究函数的“计算”转变到研究函数的“概念、性质与结构”的开始。1837年，放弃当时普遍接受的关于函数是用数学符号和运算组成的表达式的概念，提出是与之间的一种对应的现代观点。
狄里克雷的著作《数论讲义》对于后来许多著名数学家产生过很大影响。
数学奇才、计算机之父——冯·诺依曼
约翰·冯·诺依曼（1903—1957年），美籍匈牙利人，1903年12月28日生于匈牙利的布达佩斯。父亲是一个银行家，家境富裕，十分注意对孩子的教育。冯·诺依曼从小聪颖过人，兴趣广泛，读书过目不忘。据说他6岁时就能用古希腊语同父亲闲谈，一生掌握了七种语言。最擅长德语，可在他用德语思考种种设想时，又能以阅读的速度译成英语。他对读过的书籍和论文，能很快一句不差地将内容复述出来，而且若干年之后，仍可如此。1911—1921年，冯·诺依曼在布达佩斯的卢瑟伦中学读书期间，就崭露头角而深受老师的器重。在费克特老师的个别指导下并合作发表了第一篇数学论文，此时冯·诺依曼还不到18岁。1921—1923年在苏黎世大学学习，很快又在1926年以优异的成绩获得了布达佩斯大学数学博士学位，此时冯·诺依曼年仅22岁。1927—1929年冯·诺依曼相继在柏林大学和汉堡大学担任数学讲师。1930年接受了普林斯顿大学客座教授的职位，西渡美国。1931年成为该校终身教授。1933年转到该校的高级研究所，成为最初六位教授之一，并在那里工作了一生。冯·诺依曼是普林斯顿大学、宾夕法尼亚大学、哈佛大学、伊斯坦堡大学、马里兰大学、哥伦比亚大学和慕尼黑高等技术学院等校的荣誉博士。他是美国国家科学院、秘鲁国立自然科学院和意大利国立林且学院等院的院士。1954年他任美国原子能委员会委员；1951年至1953年任美国数学会主席。
1954年夏，冯·诺依曼被发现患有癌症，1957年2月8日，在华盛顿去世，终年54岁。
冯·诺依曼在数学的诸多领域都进行了开创性工作，并作出了重大贡献。在第二次世界大战前，他主要从事算子理论、集合论等方面的研究。1923年关于集合论中超限序数的论文，显示了冯·诺依曼处理集合论问题所特有的方式和风格。他把集合论加以公理化，他的公理化体系奠定了公理集合论的基础。他从公理出发，用代数方法导出了集合论中许多重要概念、基本运算、重要定理等。特别在1925年的一篇论文中，冯·诺依曼就指出了任何一种公理化系统中都存在着无法判定的命题。
1933年，冯·诺依曼解决了希尔伯特第5问题，即证明了局部欧几里德紧群是李群。
冯·诺依曼对人类的最大贡献是对计算机科学、计算机技术和数值分析的开拓性工作。
现在一般认为ENIAC机是世界第一台电子计算机，它是由美国科学家研制的，于1946年2月14日在费城开始运行。其实由汤米、费劳尔斯等英国科学家研制的“科洛萨斯”计算机比ENIAC机问世早两年多，于1944年1月10日在布莱奇利园区开始运行。ENIAC机证明电子真空技术可以大大地提高计算技术，不过，ENIAC机本身存在两大缺点：（1）没有存储器；（2）它用布线接板进行控制，甚至要搭接几天，计算速度也就被这一工作抵消了。
冯·诺依曼由ENIAC机研制组的戈尔德斯廷中尉介绍参加ENIAC机研制小组后，便带领这批富有创新精神的年轻科技人员，向着更高的目标进军。1945年，他们在共同讨论的基础上，发表了一个全新的“存储程序通用电子计算机方案”——EDVAC（ElectronicDiscreteVariableAutomaticCompUter的缩写）。在这过程中，冯·诺依曼显示出他雄厚的数理基础知识，充分发挥了他的顾问作用及探索问题和综合分析的能力。
EDVAC方案明确奠定了新机器由五个部分组成，包括：运算器、逻辑控制装置、存储器、输入和输出设备，并描述了这五部分的职能和相互关系。EDVAC机还有两个非常重大的改进，即：（1）采用了二进制，不但数据采用二进制，指令也采用二进制；（2）建立了存储程序，指令和数据便可一起放在存储器里，并作同样处理，简化了计算机的结构，大大提高了计算机的速度。
1946年7、8月间，冯·诺依曼和戈尔德斯廷、勃克斯在EDVAC方案的基础上，为普林斯顿大学高级研究所研制IAS计算机时，又提出了一个更加完善的设计报告《电子计算机逻辑设计初探》。以上两份既有理论又有具体设计的文件，首次在全世界掀起了一股“计算机热”，它们的综合设计思想，便是著名的“冯·诺依曼机”，其中心就是有存储程序原则——指令和数据一起存储。这个概念被誉为“计算机发展史上的一个里程碑”。它标志着电子计算机时代的真正开始，指导着以后的计算机设计。自然一切事物总是在发展着的，随着科学技术的进步，今天人们又认识到“冯·诺依曼机”的不足，它妨碍着计算机速度的进一步提高，而提出了“非冯·诺依曼机”的设想。
冯·诺依曼还积极参与了推广应用计算机的工作，对如何编制程序及搞数值计算都作出了杰出的贡献。冯·诺依曼于1937年获美国数学会的波策奖；1947年获美国总统的功勋奖章、美国海军优秀公民服务奖；1956年获美国总统的自由奖章和爱因斯坦纪念奖以及费米奖。
冯·诺依曼逝世后，未完成的手稿于1958年以《计算机与人脑》为名出版。他的主要著作收集在六卷《冯·诺依曼全集》中，1961年出版。
历史上最多产的数学家——欧拉
欧拉（1707—1783年），18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一，被称为“分析的化身”。
1707年出生在瑞士的巴塞尔城，小时候他就特别喜欢数学，不满10岁就开始自学《代数学》。这本书连他的几位老师都没读过，可小欧拉却读得津津有味，遇到不懂的地方，就用笔作个记号，事后再向别人请教。13岁就进巴塞尔大学读书，这在当时是个奇迹，曾轰动了数学界。小欧拉是这所大学，也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生。在大学里得到当时最有名的数学家微积分权威约翰·伯努利（1667—1748年）的精心指导，并逐渐与其建立了深厚的友谊。约翰·伯努利后来曾这样称赞青出于蓝而胜于蓝的学生：“我介绍高等分析时，它还是个孩子，而你将他带大成人。”两年后的夏天，欧拉获得巴塞尔大学的学士学位，次年，欧拉又获得巴塞尔大学的哲学硕士学位。1725年，欧拉开始了他的数学生涯。
欧拉的父亲保罗·欧拉也是一个数学家，原希望小欧拉学神学，同时教他一点数学。由于小欧拉的天分和异常勤奋的精神，又受到约翰·伯努利的赏识和特殊指导，当他在19岁时写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了。
1725年约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉，这样，在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡。1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授。1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算彗星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了。然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁。1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明。不幸的事情接踵而来，1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了。
沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来。在他完全失明之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A·欧拉（数学家和物理学家）笔录。欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久。
欧拉生活、工作过的三个国家：瑞士、俄国、德国，都把欧拉作为自己的数学家，为有他而感到骄傲。
欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成。有一个例子足以说明他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来。欧拉在失明的17年中，还解决了使牛顿头痛的月离（月球运行）问题和很多复杂的分析问题。
