要推导极限的性质，必须对数列有明确的概念。这里的数不只是有理数，还包括无理数，这两种数构成实数的集合。所以，当务之急就是建立起严格的“实数”理论。戴德金在1872年发表了《连续性与无理数》这本专著，同年康托尔也发表实数理论的文章。康托尔通过一定的有理数序列（基本序列）来定义实数。而戴德金则利用有理数集合的分割来定义实数。他们的理论虽然逻辑上可靠，但是都不太自然，依赖于有理数的集合概念。这样一来，实数理论的无矛盾性就归结为有理数论，进而归结成自然数论的无矛盾性了。
自古以来，大家都认为自然数的算术是天经地义、不容怀疑的。不过有些数学家如弗雷格和戴德金又进一步把自然数归结为逻辑与集合论。这样一来，集合论与逻辑成为整个数学的基础。罗素悖论一出现，集合论靠不住了，自然数的算术也成问题，这样一来，整个数学大厦都动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第二卷末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。当本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地”。戴德金原来打算把《连续性及无理数》第三版付印，这时也把稿件抽了回来。他也觉得由于罗素悖论，整个数学的基础都靠不住了。
悖论涉及的是集合、属于、所有（全部）性质与集合的对应关系、无穷这些最基本的概念。这些：概念在数学中是天天必须用到的。如果不加以澄清，在数学证明的过程中，不是这里就是那里就会出毛病。
有了毛病，有的人就主张把集合论全盘推倒，只考虑有限的东西，这样不仅把数学内容砍掉了一大半，而且无穷的问题仍会出现。另一部分人则主张限制这些概念的使用范围，当然限制太多了，就缩小了数学领域，而限制太少了又会出现矛盾，所以要在这两者之间找到一种最好的解决办法。从20世纪初，人们就一直在找，虽然并没有得到最终满意的解决，不过给数学提供一个可靠的基础还是可以办得到的。
罗素的类型论
1901年6月罗素发现了“悖论”。他在1902年6月16日把这个悖论告诉了弗雷格。他在1903年出版的《数学的原理》中，有一段可能是在1901年写的，他写道：“作为多的类与类的项具有不同的类型”；“整个秘密的关键是逻辑类型的不同”。对这个问题的解决，他只写了不到三十行。他还考查了其他的解决办法，觉得它们都不令人满意，于是得出结论：“没有适当的哲学涉及到上述的矛盾，这些矛盾直接从常识中得出，也只能通过抛弃掉某些常识的假定而解决”。但是在这本书出版之前，罗素感觉到这个题目还应该更加注意，于是他写了大约六页的一个附录，“尝试性地提出了类型论”，他要求在回答所有问题之前变成为更加精致的形式。自然，当时罗素已经知道其他的悖论了，例如布拉里·福蒂悖论和最大基数悖论。
大约1905年12月，罗素抛弃了类型论。为了克服由悖论引起的困难，他提出了三种理论：1.曲折理论，命题函数非常简单时才决定类，而当它们复杂时就不能决定类；2.限制大小的理论，不存在像所有实体的类的东西；3.非类理论，类和关系完全都禁用。这篇文章甚至没有提到类型论。1906年2月5日，罗素在这篇文章末尾加了一个附注：“通过更进一步的研究，我一点也不怀疑非类理论能够解决本文第一节所陈述的所有困难”。这就是说，能够解决悖论。
非类理论的中心思想是它不讲满足某种结定语句的所有对象的类，而只讲语句本身和其中的代换。于是关于指定类的讨论都可以用语句和代换来表述。但是当我们讨论一般的类作为可量词化变元的值时，这种讨论的意义就不明显了。在这篇文章中，罗素已经承认对于大部分经典数学来说，非类理论的可能证明是不适当的。他在1906年2月加的附注中表现出他对于刚刚抛弃的类型论又重新燃起希望。果然，他很快就回来进一步细致地研究类型论，并于1906年7月发表论文了。
罗素把悖论加以分析之后认为：一切悖论的共同特征是“自我指谓”或自指示、自反性，它们都来源于某种“恶性循环”。这种恶性循环来源于某种不合法的集体（或总体或全体）。这类集体的不合法之处在于，定义它的成员时，要涉及到这个集体的整体。罗素悖论是最明显的例子。定义不属于自身的集合时，涉及到“自身”这个整体，这是不合法的，这种涉及自身的定义称为非直谓定义。所以要避免悖论，只需遵循“（消除）恶性循环原理”，“凡是涉及一个集体的整体的对象，它本身不能是该集体的成员”。根据这个原则，罗素提出他的分支类型论。
罗素把论域分成为等级或者类型，只有当满足某一给定条件的所有对象都属于同一类型时，我们才能谈到他们的全体，于是一个类的所有成员必定全都具有同一类型。同样，任何一个量词化的变元也必定有同一类型。这样罗素就引导谈论“所有”和“任何”的区别。“所有”由普遍量词的束缚变元来表示，它们跑遍一个类型；而“任何”则由自由变元来表示，它们可以指任何不确定的事物，而不管其类型如何。因此自由变元是没有任何妨碍的。
但是，分支类型论禁例太严，以致无法推出全部数学。为此罗素引进可化归公理：“任何公式都可以和一个直谓公式等价”。也就是都可以化为含n级变元的n+1级公式。这样一来可以不必考虑约束变元的级了。这种类型论称为简单类型论。
由于集合（类）和谓词（命题函数）是平行的，因此我们可以用集合更简单地解释一下：简单类型论是由一系列层构成的系统，最底一层是第0级，上面各层、各级都是同一类的型构成，最低一层的元素称为个体，由这些个体所成的类就构成第一级的类，由一级的类为元素所成的类就构成第二级的类，依此类推。
1926年，英国年轻数学家拉姆塞把悖论区别为逻辑悖论（或谓词悖论、集合论悖论）及语义悖论（或认识论悖论）。他证明对于集合论悖论，简单类型论就足以消除。因为这种悖论只牵涉到谓词和变元的关系，它们不同级便可以消除悖论了。但是语义悖论要涉及到谓词本身，非得分支类型论不可。
虽然类型论可以消除悖论，但是缺点很多，非常烦琐，特别是可化归公理的引进，具有很大的任意性，因此受到很多批评。不过它的历史作用还是很大的，也借助它，罗素才实现他的逻辑主义纲领，完成前人没有完成的计划。
罗素和怀特海的《数学原理》出版之后，许多人对于其系统进行简化与改进。特别是哥德尔及塔尔斯基。1940年，丘奇给简单类型论一个新的表述。类型论至今仍是数理逻辑中主要的系统之一。
策梅罗的公理集合论
1908年，策梅罗采用把集合论公理化的方法来消除罗素悖论。他的著名论文《关于集合论基础的研究》是这样开始的：“集合论是这样一个数学分支，它的任务就是从数学上以最为简单的方式来研究数、序和函数等基本概念，并借此建立整个算术和分析的逻辑基础；因此构成了数学科学的必不可少的组成部分。但是在当前，这门学科的存在本身似乎受到某种矛盾或者悖论的威胁，而这些矛盾和悖论似乎是从它的根本原理导出来的。而且一直到现在，还没有找到适当的解决办法。面对着罗素关于‘所有不包含以自己为元素的集合的集合’的悖论，事实上，它今天似乎不能再容许任何逻辑上可以定义的概念‘集合’或‘类’为其外延。康托尔原来把集合定义为我们直觉或者我们思考的确定的不同的对象作为一个总体。肯定要求加上某种限制，虽然到现在为止还没有成功地用另外同样简单的定义代替它，而不引起任何疑虑。在这种情况下，我们没有别的办法，而只能尝试反其道而行之。也就是从历史上存在的集合论出发，来得出一些原理，而这些原理是作为这门数学学科的基础所要求的。这个问题必须这样地解决，使得这些原理足够地狭窄，足以排除掉所有的矛盾。同时，又要足够地宽广，能够保留这个理论所有有价值的东西。”
在这篇文章中，策梅罗实行的计划，是把集合论变成一个完全抽象的公理化理论。在这样一个公理化理论中，集合这个概念一直不加定义，而它的性质就由公理反映出来。他不说什么是集合，而只讲从数学上怎样来处理它们，他引进七条公理：决定性公理（外延公理）、初等集合公理（空集公理、单元素公理、对集公理）、分离公理、幂集公理、并集公理、选择公理、无穷公理（稍稍改变一下原来形式）。
实际上策梅罗的公理系统Z（公理1至7）把集合限制得使之不要太大，从而回避了比如说所有“对象”，所有序数等等，从而消除罗素悖论产生的条件。策梅罗不把集合只简单看成一些集团或集体，它是满足七条公理的条件的“对象”，这样排除了某些不适当的“集合”。特别是产生悖论的原因是定义集合的所谓内涵公理组，如今已换成弱得多的分离公理组。
策梅罗首次提出的集合论公理系统，意义是非常重大的。但是，其中有许多缺点相毛病。比如：公理3的确定性质的含义并不清楚，他的公理没有涉及逻辑基础，选择公理有许多争议等等。后来经许多人加以严格处理及补充，才成为严格的公理系统，即ZF或ZFS系统。其中Z代表策梅罗，F代表弗兰克尔，S代表斯科兰姆。这里面特别是有斯科兰姆和弗兰克尔进行的改进。但是一般的ZF中往往不包括选择公理，如果加进选择公理则写为ZFC（AC是AxiomofChoice的缩写，有时简写为C）。
策梅罗的公理系统发表之后，遭到各方面的批评。特别是斯科兰姆1922年在8月份在赫尔辛基召开的第五届斯堪的纳维亚数学家大会上做了公理化集合论的报告，他对策梅罗公理系统提出了八点批评：
1.为了讨论集合，我们必须从对象“域”开始，也就是用某种方法构成的域；2.策梅罗关于确定的命题要有一个定义使得它精确化；3.在所有完全的公理化中，集合论的概念不可避免地是相对的；4.策梅罗的公理系统不足以提供通常集合论的基础；5.当人们打算证明公理的无矛盾时，谓语句所引起的困难；6.对象域B的不惟一性；7.数学归纳法对于抽象给出的公理系统的必要性；8.选择公理的问题。
另一方面，许多人对策梅罗公理集合论提出许多改进意见。首先Z太狭窄不足以满足对集合论的合法需要，有许多集合不能由它产生出来，也不能够由此造出序数的一般理论和超穷归纳法。为了弥补这个缺陷，弗兰克尔加进一个公理组即代换公理。另外，弗兰克尔还把公理以符号逻辑表示出来，形成了现在通用的ZF系统。
一般认为经过弗兰克尔改进的策梅罗集合论公理系统，再加上选择公理是足够数学发展所需的，但是还需要加一条限制性的公理，即除了满足这些公理的集合之外没有其他的集合。采取这样一个公理是出于一个悖论的启发，这个悖论最初是法国数学家米里马诺夫在1917年提出的。这个悖论涉及所谓基础集合，为了排除这种集合，冯·诺依曼引进公理9（基础公理），从而消除了上述悖论。
这样定义的集合论（ZF）中，虽说与连续统假设有关的“幂集公理”不留下疑点，但正因为不包含有很多问题的“选择公理（AC）”，所以纯粹性很高。虽然至今还不能给出ZF集合论的无矛盾性的证明，可是它已经没有必须大书特书的难点了。
常用的集合论公理系统除了ZF之外，还有由冯·诺依曼开创并由贝耐斯、哥德尔加以改进、简化的集合论公理系统——NBG系统（有时简称为BG系统，N代表冯·诺依曼，B代表贝耐斯，G代表哥德尔）。
大数学家冯·诺依曼在他年轻的时候，开辟了公理化集合论的第二个系统。他第一个主要的数学研究就是重新考虑策梅罗—弗兰克尔对于集合论的公理化。在他的博士论文中论述了一般集合论的公理构造，这篇论文是他1925年用匈牙利文写的。但是他后来在两篇重要文章中用德文发表了其中主要的思想，一篇是《集合论的一种公理化》，另二篇是《集合论的公理化》。第一篇文章中他给出了自己的公理化体系，在第二篇文章中他详细地证明了怎样由他的公理系统导出集合论。
冯·诺依曼的处理方法是策梅罗公理化的推广。原来的理论基本上保持了下来，但是形式有所变化。表面看来新公理和旧公理非常不一样，但是主要是使用的语言有所变化。通常表示集合论的语言有两种，一种是集合和它的元素的语言，一种是函数及其变项的语言，这两种语言是等价的。
策梅罗用的主要是集合的语言，不过他也隐含地用函数的语言。而在弗兰克尔改进的理论里，这点就更加明显。冯·诺依曼选用的语言完全与策梅罗相反，他一开始就用变项和函数来叙述他的公理。
但是策梅罗—弗兰克尔和冯·诺依曼两个公理系统主要差别还不是语言的问题，而是如何在朴素集合论中排除悖论的方式。在策梅罗—弗兰克尔系统中，是通过限制集合产生的方式来达到这个目的的，他们把集合只限制在对于数学必不可少的那些集合上。但是从冯·诺依曼看来，这样施加限制有点不必要地过分严格，使得数学家在论证过程中失掉一些有时有用的论证方式，而这些论证方式似乎是没有恶性循环的。于是冯·诺依曼采取一个比策梅罗—弗兰克尔更广的概念，而同时却消除任何产生悖论的危险。
按照冯·诺依曼的想法，悖论的产生也许是因为过大的总体所引起，更准确来讲，就相当于所有集合的集合，所以冯·诺依曼就觉得只要让这类总体成为元素，就可以避免悖论。
在冯·诺依曼的公理系统中，悖论是通过下面的方法来避免的；承认有两种类型的类，即集合和固有类。集合可以是其他类的成员，而固有类则不容许是其他类的成员。在这个公理系统中，我们就有三个原始概念：集合，类，属于关系。所以NBG中的定理不一定是ZF中的定理，不过可以证明ZF中的每个合适公式在ZF中可证明当且仅当在NBG中可证明。这样看来NBG是ZF的一个扩充，数学家可以根据自己不同的需要来选用自已认为方便的公理系统。比如哥德尔是在NBG公理系统中考虑选择公理及广义连续统假设的相对无矛盾性，而科亨则是在ZF公理系统中考虑选择公理及连续统假设的独立性。除了这两个最重要的集合论公理系统之外，还有好几个公理系统，但是它们的用途远不如ZF和NBG系统了。
