在19和20世纪之交，143由于像萨姆·洛伊德和他的“14-15”这样的游戏，在欧洲和美国出现了成百万个业余解题者，他们急切地期待着新的挑战。当关于沃尔夫斯凯尔的遗赠的消息在这些崭露头角的数学家们中间传开时，费马大定理就再一次成为世界上最着名的问题。费马大定理比即使算最难解的洛伊德的谜也要复杂不知多少，但是奖金也是多得多。业余爱好者们梦想着他们能找到相对简单的、没有被过去的大教授们发现的巧妙方法。在对数学技巧的了解方面，20世纪出色的业余爱好者们在很大程度上与皮埃尔·德·费马是不相上下的。挑战则是与费马比试一下在使用他的技术方面的创造性。
在沃尔夫斯凯尔奖宣布后的几个星期内，参赛的论文像雪片似的飞到格丁根大学。毫不奇怪，所有的论文都是令人失望的。虽然每个参赛者都确信他们已经解决了这个世纪难题，但他们都在他们的逻辑中犯了难以捉摸的，有时也不是那么难以捉摸的错误。数论这门艺术是如此抽象，以致极容易离开逻辑的道路漫步乱走而自己却未意识到已经进入荒谬之中。附录7展示了急于求成的业余爱好者容易忽视的一个典型错误。
每一份证明，不管是谁送交的，都必须经过严格认真的审查，以防万一有个不出名的业余爱好者碰巧发现了那个数学中众人苦苦寻找的证明。在1909年到1934年期间，格丁根大学数学系的系主任是埃德蒙·兰道教授，审查沃尔夫斯凯尔奖的参赛论文是他的职责。
兰道发现，由于每个月必须处理放在他桌上的几十份烦人的证明，144他的研究工作常常被中断。为了应付这种状况，他发明了一种卸去这项工作担子的巧妙方法。教授印制了几百张卡片，上面印着：
亲爱的：
谢谢您寄来的您关于费马大定理的证明的稿件。
第一个错误是在：
页行。
这使得证明无效。
E.M.兰道教授然后，兰道把每份新的参赛论文连同一张印好的卡片交给他的一个学生，要求学生填写空白处。
参赛论文的数量多年来持续不见减少，即使在第一次世界大战后由于高通货膨胀引起沃尔夫斯凯尔奖严重贬值之后也是如此。传闻说今天任何赢得这个竞赛的人所得的奖金几乎不够买一杯咖啡，但是这种说法有点过分夸张。在20世纪70年代负责处理参赛论文的F.施利克汀（F.Schlichting）博士写的一封信里，他解释说奖金在当时仍然值1万马克以上。这封信是写给保罗·里本博瓦姆（PauloRibenboim）的，并发表在他的《费马大定理十三讲》（13LecturesonFermatsLastTheorem）一书中。从这封信中可以很好地了解沃尔夫斯凯尔委员会的工作：
亲爱的先生：
迄今为止尚未有对投寄来的“解答”的总数的统计。在笫一年（1907-1908）科学院的档案中登记有621份解答，145而现在他们已存放了约有3米高的关于费马问题的来往信件。在最近10年中，它们是按下列方式处理的。科学院的秘书将寄来的稿件分成：
（1）完全无意义的，这些稿件立即被退回；（2）看起来有点像数学的稿件。
第二部分的稿件被交到数学系，在那里，阅读、找出错误和做出答复的工作被委托给一位科学助手去做（在德国大学里这些科学助手是大学毕业后攻读博士学位的人）——而当时我正是受害者。每个月大约有3到4封信要答复，其中还包括许多滑稽可笑和稀奇古怪的东西。例如，有个人寄来他的解答的前一半，并且许诺如果我们先预付1000马克的话就再寄来后一半；再如另一个人，他许诺将他成名后从出版、电台或电视台采访中获取的收益的1％给我，只要我现在支持他，若我不这样做，他威胁说他要把论文寄给苏联的数学研究部门，从而剥夺我们发现他的荣誉。时常会有人出现在格丁根，坚持要求面谈讨论。
几乎所有的“解答”都是在非常初级的水平上（使用中学数学以及可能是数论中某些未经整理的论文中的概念）写成的，但尽管如此，理解起来却是非常地复杂。在社会地位方面，寄论文者常常是受过一种专业教育但事业上失败的人，他们试图以证明费马大定理找回成功。我将一些稿件交给了诊断严重精神分裂症的医生。
沃尔夫斯凯尔最终遗愿的一个条件是，科学院必须每年在一些主要的数学期刊上发布关于这个奖的通告。但是在第一年后那些期刊就拒绝刊登这个通告，因为寄来的信件和疯狂古怪的稿件多得使他们无法容纳。
我希望这些消息对你会有用处。
你的诚挚的F.施利克汀
像施利克汀提到的那样，146参赛者还不只限于把他们的“解答”寄给科学院。世界上每个数学研究部门大概都有存放业余数学爱好者送来的所谓证明的小木橱。大多数机构对这些业余证明不予理睬，也有一些收到者以极具想象力的方式来处理它们。数学作家马丁·加德纳（MartinGardner）回想起一个朋友的做法：他回寄一张字条解释说他没有能力研究寄来的证明，作为替代，他向他们提供这个领域中能够帮助做这件事的一位专家的姓名和地址——也就是说，最近寄给他一份证明的业余爱好者的姓名和地址。加德纳则是这样答复：
“我有一个很好的证明反驳你试图完成的证明，但不幸的是这张纸不够大，以致无法写下。”
虽然全世界的业余数学家们在这个世纪中尝试着证明费马大定理和赢得沃尔夫斯凯尔奖并且都失败了，但专业数学家们则依然对这个问题置之不理。数学家们不再在库默尔和其他的19世纪数论家的工作上添砖加瓦，而是开始探索他们自己学科的基础，目的在于提出关于数的一些最基本的问题。20世纪的一些最优秀的人物，包括伯特兰·罗素、大卫·希尔伯特和库特·哥德尔（KuntGdel），试图弄清楚数的最深刻的性质以便掌握它们的真实意义和发现哪些问题是数论能回答的，更重要的是发现哪些问题是数论无法回答的。他们的工作将动摇数学的基础，最终也对费马大定理有所影响。
认识的基础
几百年来，数学家们一直在使用逻辑证明，147从已知世界向未知世界进军。每一代新的数学家都扩大了他们的重大成果并创造了关于数和几何的新概念，取得的进步是非凡的。然而，到了19世纪末，数理逻辑学家们不是向前看而是开始回过头来审视作为这一切的支柱的数学基础。他们想要证实数学的基本原理并且严格地从基本原理出发重建一切，以恢复自己对这些基本原理的信心。
需要经过确实无疑的证明才能承认某个结论，对这一点数学家是以其一丝不苟而着称的。伊恩·斯图尔特（IanStewart）在《现代数学的观念》（ConceptsofModernMathematics）一书中讲的一个故事清楚地反映了他们的这种声誉：
一个天文学家、一个物理学家和一个数学家（据说）正在苏格兰度假。当他们从火车车厢的窗口向外了望时，观察到田地中央有一只黑色的羊。“多么有趣，”天文学家评论道，“所有的苏格兰羊都是黑色的!”物理学家对此反驳说：“不，不!某些苏格兰羊是黑色的！”数学家祈求地凝视着天空，然后吟诵起来：“在苏格兰至少存在着一块田地，至少有一只羊，这只羊至少有一侧是黑色的。”
专门研究数理逻辑的数学家甚至比普通的数学家还要严格。数理逻辑学家开始质疑别的数学家们多年来都认为是理所当然的那些思想。例如，三分律说，每个数或者是负数或者是正数，要不就是零。148这似乎是显然的，数学家们心照不宣地认为它是对的，根本没有人想费神去证明它确实是对的。逻辑学家意识到，在三分律被证明是对的之前，它仍有可能是错的。而如果真是错的，那么整幢知识大厦——在这条定律上建立起来的一切东西都将崩坍。对于数学家来说幸运的是，在19世纪末三分律被证明是对的。
自古希腊以来，数学已经积累了越来越多的定理和事实，虽然它们中的大部分已经被严格地证明了，但数学家们仍然担心它们中像三分律这样没被正常地证明过的东西有所增多。某些思想已经成了约定俗成的东西，即使它们确实曾经被证明过，也没有人确切地知道它们最初是怎样被证明的。所以逻辑学家决定从基本原理出发将每一个定理证明一遍。然而，每个真理必须是根据别的真理推断出来的，而那些真理仍然必须根据更为基本的真理来证明。依次类推下去，最终逻辑学家发现自己正在处理几个最本质的命题，这些命题是如此的基本以致它们本身不再可能被证明。这些基本的假定就是数学中的公理。
公理的一个例子是“加法交换律”，它直截了当地说：对任何数m和n，m+n=n+m成立。这个公理和另外极少数公理被认为是不证自明的，可以方便地通过具体的数验证它们。迄今为止，这些公理都通过了每一次的验证，已经被承认为数学的基本事实。对逻辑学家的挑战是，从这些公理出发重建所有的数学。附录8定义了一套数学公理，149并描述了逻辑学家如何开始重建其余的数学。
众多逻辑学家参与了这个缓慢而棘手的只使用个数最少的公理来重建这座无比复杂的数学知识大厦的过程。想法是完全按照最严格的逻辑标准对数学家认为他们已经知道的东西进行整顿。德国数学家赫尔曼·魏尔（HermannWeyl）对当时的基调做了概括：“逻辑是数学家用来使他的思想保持健康有力的保健法。”除了净化已知的东西外，另一个希望是这种基要主义的研究方法也能把包括费马大定理在内的至今尚未解决的问题搞清楚。
这个计划是在那个时代最杰出的人物大卫·希尔伯特领导下进行的。希尔伯特相信，数学中的一切能够而且也应该根据基本的公理加以证明。这样做的结果，最终将是要证明数学体系中的两个最重要的基本要求。首先，数学应该（至少在理论上）有能力回答每一个问题——这与对完全性的要求是相同的，这种要求在过去曾迫使数学家创造出像负数和虚数这样的新的数。其次，数学不应该有不相容性——那就是说，如果用一种方法证明了某个命题是对的，那么就不可能用另一种方法证明这同一命题是错的。希尔伯特确信，只需承认少数几个公理，就可以回答任何想象得到的数学问题而无须担心会出现矛盾。
1900年8月8日希尔伯特在巴黎的国际数学家大会上做了一个历史性的演讲。希尔伯特提出了数学中的23个未解决的问题，他相信这些问题是最迫切需要解决的重要问题。其中某些问题与数学中更一般的领域有关。但大多数问题集中于数学的逻辑基础。150提出这些问题是为了集中数学界的注意力并提供一个研究计划。希尔伯特想要激励数学界来帮助他实现他的建立可信的并且相容的数学体系的梦想——他铭刻在他的墓碑上的雄心壮志：
Wirnüsssenwissen，Wirwerdenwissen.
我们必须知道，我们将会知道。
高特洛布·弗雷格（GottlobFrege）是所谓的希尔伯特计划的主要人物之一，虽然有时候他也是希尔伯特厉害的对手。在十多年中，弗雷格极为投入地从简单的公理出发推导了数以百计的复杂定理，他的成功导致他相信自己已正确地行进在实现非常宏伟的希尔伯特之梦的道路上。弗雷格的重大的突破性工作之一是创造了数的一种定义。例如，我们讲到数字3时，它的真实含义是什么？结果发现，为了定义数3，弗雷格必须首先定义“倍3性”。
“倍3性”是包含3个对象的对象集合所共有的抽象性质。例如，“倍3性”可以用来刻画流行儿歌中瞎眼耗子的集合，或者刻画三角形的边的集合。弗雷格注意到存在许多具有“倍3性”的集合，并且用集合的思想定义“3”本身。他创造了一个新的集合，并将所有的具有“倍3性”的集合放在其中，而把这个新的集合组成的集合称为“3”。于是，一个集合具有3个成员当且仅当它在集合“3”里面。
对于一个我们每天使用的概念来说，152这个定义似乎过于复杂了，但是弗雷格对“3”的描述是严格和无可挑剔的，并且对于希尔伯特的不屈不挠的计划是完完全全必要的。
1902年，弗雷格的艰辛努力似将告一段落，因为他当时准备出版《算术的基本规律》（GrundgesetzederArithmetik）——一部庞大的权威性的两卷本着作，意在建立数学中可信性的新标准。就在这同时，也在为希尔伯特的伟大计划作努力的英国逻辑学家伯特兰·罗素却有了一个毁灭性的发现。尽管遵循着希尔伯特的严格规定，罗素还是碰到了一种不相容性。当意识到数学可能生来就有矛盾时罗素回忆他自己的反应时说：
最初，我认为我应该能够相当容易地克服这个矛盾，或许是推理时犯了某种微不足道的小错误。然而，逐渐地越来越清楚情况并不是这样……在1901年的整个下半年中，我想解答会是容易的；但是到了年终时，我已经断定这将是一个大工程……每天晚上从11点到凌晨1点，我在公有牧地上荡来荡去，在那段时间里，我终于懂得了欧夜鹰发出的三种不同的呼呼声（大多数人只懂一种呼呼声）。我正努力设法解决这个矛盾。每天早晨，我在一张白纸前坐下，整整一天，除了短暂的午饭时间外，我总是凝视着这张白纸。经常当夜幕降临时，它仍然是白纸一张。
矛盾无法回避。罗素的工作将给建立无怀疑的、相容的和无悖论的数学体系的梦想带来巨大的灾难。他写信告诉弗雷格，当时弗雷格的书稿已经在排印中。这封信使弗雷格的这本融注着他生命的着作变得毫无价值，但是他置这个致命的打击于不顾，仍然出版了他的巨着，只是在第2卷中添加了一个后记：“正当工作完成时，154基础却倒塌了，科学家也许不会遭遇比这更不幸的结局了。当本书即将印刷完毕时，伯特兰·罗素先生给我的一封信使我陷入的正是这种困境。”
