一个高超的问题解答者必须具备两种不协调的素质——永不安分的想象和极具耐心的执拗。
——霍华德·W.伊夫斯
225安德鲁·怀尔斯回忆说：“那是1986年夏末的一个傍晚，当时我正在一个朋友的家中啜饮着冰茶。谈话问他随意地告诉我，肯·里贝特已经证明了谷山志村猜想与费马大定理之间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻，那个改变我的生命历程的时刻，因为这意味着为了证明费马大定理，我必须做的一切就是证明谷山志村猜想。它意味着我童年的梦想现在成了体面的值得去做的事。我懂得我绝不能让它溜走。我十分清楚我应该回家去研究谷山志村猜想。”
自从安德鲁·怀尔斯发现那本激励他去迎接费马挑战的图书馆的书以来已经20多年过去了，但是现在，第一次，他望见了一条实现他童年梦想的道路。怀尔斯回忆他对谷山志村猜想的看法是如何在一夜之间改变的：“我记得有一个数学家曾写过一本关于谷山志村猜想的书，并且厚着脸皮地建议有兴趣的读者把它当做一个习题。好，我想，我现在真的有兴趣了!”
226自从师从约翰·科茨教授在剑桥取得他的博士学位以后，怀尔斯就横渡大西洋来到了普林斯顿大学，现在他本人已是这所大学的教授了。多亏科茨的指导，怀尔斯或许比世界上任何别的人都更懂得椭圆方程，但他也很清楚地意识到即便以他的广博的基础知识和数学修为，前面的任务也是极为艰巨的。
大多数其他数学家，包括约翰·科茨，相信做这个证明会劳而无功。科茨说：“我自己对于这个存在于费马大定理与谷山志村猜想之间的美妙的链环能否实际产生有用的东西持悲观态度，因为我必须承认我不认为谷山志村猜想是容易证明的。虽然问题很美妙，但真正地证明它似乎是不可能的。我必须承认我认为在我有生之年大概是不可能看到它被证明的。”
怀尔斯意识到他的机会不大，但即使最终他没能证明费马大定理，他也觉得他的努力不会白费：“当然，已经很多年了，谷山志村猜想一直没有被解决。没有人对怎样处理它有任何想法，但是至少它属于数学中的主流。我可以试一下并证明一些结果，即使它们并未解决整个问题，它们也会是有价值的数学。我不认为我在浪费自己的时间。这样，吸引了我一生的费马的传奇故事现在和一个专业上有用的问题结合起来了。”
顶楼中的勇士
在世纪交替的时刻，有人问伟大的逻辑学家大卫·希尔伯特为什么他不去尝试证明费马大定理。他回答说：“在开始着手之前，我必须227花3年的时间做深入细致的研究，而我没有那么多时间去浪费在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯清楚地知道，为了有希望找到证明，他必须全身心地将自己投入这个工作中。但是与希尔伯特不一样，他准备冒这个风险。他阅读了所有的最新杂志，然后反复地操练最新的技巧方法，直到它们成为他的第二本能为止。为了为将来的战斗收集必要的武器，怀尔斯花了18个月的时间使自己熟悉以前曾被应用于椭圆方程或模形式的，以及从它们推导出来的全部数学。这些还是比较小的投资，要记住他全面地估计过，任何对这个证明的认真的尝试很可能需要10年的专心致志的努力。
怀尔斯放弃了所有的与证明费马大定理没有直接关系的工作，不再参加没完没了的学术会议和报告会。由于他仍然承担着普林斯顿大学数学系的工作，怀尔斯继续参加研讨班，给大学生上课和指导研究生。任何时候只要可能，他就回避作为教师会碰到的那些分心事而回到家里工作。在家里他可以躲进他顶楼的书房，在那里他要尝试使已经掌握了的那些技巧变得更有力量，希望制订出对付谷山志村猜想的策略。
他回忆说：“我习惯于到楼上我的书房去，着手尝试寻找一些模式。我设法做一些计算来解释某一小段数学，设法使它符合某些以前对某部分数学的泛泛的概念性理解，这有助于澄清我正在思考的具体问题。有时候还得去书上查找，以便弄明白在那里它是怎么完成的。有时它只是做一点补充计算，进行一点修改228的问题，而有时候我发觉以前所做的事情根本都是没用的，于是我就必须找出一些全新的东西——它从哪里冒出来的？这件事有点神秘。
“基本上说，它还是思维的结果。你常常会写下一些话来阐明你的想法，但并不一定如此。特别是当你真的进入死胡同的时候，当有一个真正的问题需要你去征服的时候，那种循规蹈矩的数学思维对你来说毫无用处。导致那一类新的想法必须经过长时间的对那个问题的极其专注的思考，不能有任何分心。这之后似乎有一段松弛期，在这期间潜意识出现，占据了你的脑海。正是在这段期间，某种新见解冒出来了。”
从他开始着手证明的时刻起，怀尔斯就做了一个重大的决定：要完全独立和保密地进行研究。现代数学已经发展成为一种合作性的文化，因此，怀尔斯的决定似乎使他返回到以前，仿佛他正在仿效最着名的数学隐士费马本人的方式。怀尔斯解释说，他决定秘密工作的部分原因是他希望自己的工作不受干扰：“我意识到与费马大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中，除非你的专心不被他人分散，而这一点会因旁观者太多而做不到。”
怀尔斯保密的另一个动机想必是他对荣誉的渴望。他害怕会出现这样的局面：他已经完成证明的主要部分，但仍然未找到最后部分的演算。而就在这个时候，如果他的突破性工作的消息走漏出去，那就无法阻止对手在怀尔斯的工作的229基础上继续前进，完成证明，并将奖励据为己有。
在后来的几年中，怀尔斯取得了一系列不寻常的结果，而在他的证明完成之前，他没有与人讨论或发表其中的任何一个成果。甚至关系密切的同事也没有留意到他的研究工作。约翰·科茨能回想起与怀尔斯的这段交往，这段期间他对怀尔斯正在进行的事情毫不知情：“我记得在许多场合对他讲过，‘与费马大定理的这种联系确实是非常好的，但是要想证明谷山志村猜想仍然是毫无希望的’，而他当时只是对我笑笑。”
是肯·里贝特完成了费马与谷山志村之间的链环，但他也不完全知道怀尔斯暗中进行的工作：“这大概是我知道的仅有的一个例子，一个人进行了这么长时间的研究而不公开他在做什么，也不谈论他正在取得的进展。在我的经历中，这是前所未闻的。在我们这个团体中，人们总是分享他们的想法。数学家们在会议上聚在一起，互访并作报告，他们互相传送电子邮件，电话交谈，征求对方的看法，寻求反馈——数学家们总是在交流。当你对别人说话时，你会得到鼓励；人们会告诉你哪些你已完成的工作是重要的，他们给你各种想法。这有点像补充营养，而如果你把自己与此隔绝起来，那么你是在做从心理学观点来看或许是非常古怪的事情。”
为了不引起怀疑，怀尔斯设计了一个狡猾的策略，使他的同事们无从觉察。在80年代早期，他一直在从事对特殊类型的椭圆方程的重要研究，他本来打算将这方面的结果完整地发表，但里贝特和弗赖的发现使他改变了主意。怀尔斯决定一点一点地发表他的研究成果，每隔6个月左右发表230一篇小论文。这些看得见的成果会使他的同事们相信他仍然在继续他平常的研究。只要能够维持这种论文游戏，怀尔斯就能继续从事他真正着迷的研究而不透露出他的任何突破性工作。
唯一知道怀尔斯的秘密的人是他的妻子内达（Nada）。在怀尔斯开始着手这个证明后不久他们就结婚了。当演算取得进展时，他就向她并且只向她一个人透露。在此后的几年中，他的家庭算是唯一使他分心的事。他说：“我的妻子是唯一知道我一直在从事费马问题研究的人，度蜜月时我告诉了她，那时我们结婚才几天。我的妻子也听说过费马大定理，不过那个时候她一点也不知道它对于数学家所具有的那种传奇式意义，不知道它在这么长的岁月中一直是不断使人苦恼的事。”
与无穷决斗
为了证明费马大定理，怀尔斯必须证明谷山志村猜想：每一个椭圆方程可以关联一个模形式。即便在它与费马大定理联系起来之前，数学家们也曾徒劳地试图证明这个猜想，但每一次尝试都以失败告终。怀尔斯对寻找证明会遇到的巨大困难有非常清醒的认识：“一件人们最终可能会天真地去尝试并且也确实尝试过的事就是去数一下有多少个椭圆方程，再数一下有多少个模形式，然后证明它们的个数是相同的。但是迄今还没有找到任何一种做这件事的简单方法，主要的问题是它们每一个都有无穷多个，而你是无法数无穷多次的。人根本不可能有办法完成它。”
231为了寻找解法，怀尔斯采取了他通常解难题时的处理方式：“我有时候在纸上潦草地写上几笔，或者说乱涂。它们不是什么要紧的东西，只是下意识的乱涂乱写。我从不用计算机。”在这种情况下，如同处理数论中的许多问题一样，计算机不会有任何用处。谷山志村猜想适用于无限多个方程，虽然计算机能够在几秒钟内核对一个给定的情形，但是它永远不能核对完所有的情形。这里所需要的倒是一个能有效地说明理由并解释为什么每一个椭圆方程必定是可模式化的步步相接的逻辑论证。怀尔斯单单靠一张纸、一支笔和他的头脑来寻找证明：“基本上整段时间里萦绕在我脑海中的就是这件事。早晨醒来想到的第一件事就是它，我会整天一直在思考它，在梦中我也会思考它。只要没有分心的事，我会整天一直在脑海中翻来覆去想这同一件事。”
经过1年的仔细思考，怀尔斯决定采用称为归纳法的一般方法作为他证明的基础。归纳法是一种极有效的证明形式，因为它允许数学家通过只对一种情形证明某个命题的办法，来证明该命题对无限多个情形都成立。例如，设想数学家需要证明某个命题对直至无穷的每一个自然数都是对的。第一步是证明该命题对数1是对的，假定这一步完成起来相当简单。下一步是证明如果该命题对数1是对的，那么它一定对数2也是对的；再接着，如果它对数2是对的，那么它一定对数3是对的；如果它对数3是对的，那么它一定对数4是对的……更一般地，数学家必须证明：如果命题对任何数n是对的，那么它一定对下一个数n+1是对的。
归纳法证明基本上是一个两步过程：
（1）证明该命题对第一个情形是对的。
（2）证明如果该命题对任何一个情形是对的，那么它一定对下一个情形是对的。
对归纳法证明的另一种思考方式是，将无限多个情形想象成排成一行的无限多块多米诺骨牌。为了证明每一个情形，必须找出一种击倒每一块多米诺骨牌的方法。一块一块地击倒它们将花费无限多的时间和力气，而归纳法允许数学家只要击倒第一块就可以将它们全部击倒。如果多米诺骨牌是经过精心排列的，那么击倒第一块多米诺骨牌就会击倒第二块多米诺骨牌，而这又依次击倒第三块多米诺骨牌，一直下去直至无穷。归纳法证明会产生多米诺效应。这种形式的数学上的多米诺倒塌效应允许通过只证明第一个情形来证明无限多个情形。附录10展示了如何使用归纳法来证明一个比较简单的关于一切自然数的数学命题。
怀尔斯面临的挑战是，构造一个归纳性的论证来证明无穷多个椭圆方程中的每一个都能和无穷多个模形式中的每一个相配对。接着，他必须证明：只要证明了第一个情形，所有其他的情形也会成立。最后，他发现他的归纳法证明中的第一步隐藏于19世纪法国的一位悲剧性的天才人物的工作之中。
埃瓦里斯特·伽罗瓦（EvaristeGalois）1811年10月25日（正好是法国大革命后22年）生于巴黎正南方的一个小城雷纳堡。当时拿破仑·波拿巴正处于其权力的巅峰，但是接下去一年发生了灾难性的俄国战役，1814年他被放逐并234由路易十八接替皇位。1815年拿破仑潜逃出厄尔巴岛，进入巴黎并重新掌权。但是在百日之内他在滑铁卢被击败，被迫再次让位于路易十八。
伽罗瓦像索菲·热尔曼一样成长于一个大动乱时期，但热尔曼闭门在家，远离法国大革命的动乱并专心于数学，而伽罗瓦则屡次置身于政治冲突的中心，这不仅使他不能专心进行他杰出的数学创造，而且还导致了他的英年早逝。
除了冲击着每个人生活的总的社会动乱外，伽罗瓦对政治的兴趣还受到他父亲尼古拉加布里埃尔·伽罗瓦（NicolasGabrielGalois）的影响。在埃瓦里斯特刚好4岁时，他的父亲当选为雷纳堡的市长。当时正是拿破仑凯旋重新掌权的时期，他父亲的强烈的自由主义倾向与民族的精神状态十分一致。尼古拉加布里埃尔·伽罗瓦是一位有教养的仁慈的长者，在他任市长的早期，他获得了市民的普遍尊敬，因此，即使当路易十八重新掌权时，他也保住了市长的位置。除政治外，他主要的兴趣似乎是写一些措辞巧妙的韵文。他会将这些作品在市民集会上朗读使选民们高兴。许多年后，这种善于作讽刺短诗的迷人才能导致了他的垮台。
12岁时，埃瓦里斯特·伽罗瓦进入了他的第一所学校路易·勒格兰皇家中学，这是一所声望很高但相当专制的学校。一开始他并未接触任何数学课程，他的学习成绩相当优秀但并不突出。然而，在他的第一学期中发生了一件将影响他生活进程235的大事。皇家中学以前曾是一所耶稣会学校。当时开始有谣言四传，称这所学校将重新由牧师们来管理。在这期间，在共和主义者和僧侣之间为影响路易十八与平民代表之间的力量对比不断发生斗争，而牧师们日益增长的影响则表明权力正从人民手中转移到国王手中。皇家中学的学生大部分是同情共和主义的，他们策划了一次反叛，但是学校校长贝托德（Berthod）先生发现了这个秘密计划并立即开除了10名为首分子。第二天，当贝托德要求其余的高年级学生表示效忠时，他们拒绝为路易十八祝酒，为此又有100多名学生被开除。伽罗瓦因为太年轻而未卷入这次失败的反叛，所以仍留在皇家中学。然而，看到他的同学们被如此羞辱反倒点燃了他的共和主义倾向。
