《淮南子》之后，历代都有不少科学家探讨立表定向的问题，其中成就最为卓着者是元代的郭守敬。他应用对称原理，成功地研制了专门用以测定方向的仪器，叫做正方案。《元史·天文志》详细记述了正方案的形制。根据《元史》的描述，正方案是一块边长为4尺、厚为1寸的正方形平板。在离边5分的地方开有1条水槽，用以校正案的水平。过案的中心画有十字线，线一直抵达水槽。以案的中心为圆心，自外向内画有19个圆，相邻圆间的距离为1寸。在最外圆向内3分的地方另画着1个圆，它和最外层的圆一起构成一个刻度圈，圈内刻画着周天度数。最内一个圆直径2寸，在这个圆的位置上有一个高2寸的圆柱体，圆柱体中心开了一个直通到底的洞，洞中竖一杆子，杆子的高度可以调节。春秋分时杆子高出案面1尺5寸，夏至时高出案面3尺，冬至时减为1尺。之所以要这样做，是为了保证在不同的季节里，中午时表影的顶端均能落在正方案内。这是正方案的大致结构。
在利用正方案来测定方向时，首先把它放置在平地上，在水槽中灌上水，使案面处于水平状态。然后在案心的圆柱体中插上表，观察太阳升起后表影的变化情况。当表影的端点从西边进入外圆时，在圆周的相应位置上用墨标出记号，随着表影的移动，将表影顶点与每一圆周的交点都依次用墨作上记号，直到表影东出外圆为止。把同一个圆上的两个墨点连接起来，它们的中点与圆心联线的方向就是正南北方向。把所有圆上的一组墨点都这样求出结果，以之相互比对，以求得正确的南北方向。如果是在冬至、夏至前后，太阳的赤纬变化较小，这时即使只取最外圆上的一组观测，也能得到正确的结果。然而在春分、秋分前后，太阳的赤纬变化较大，早晚差别显着，外面几个圆上的观测点对于真子午线来说就不是对称的，这些测点就不再可用，必须取最接近内圆上的测点，而且还要用接连几天进行观测的办法，以取得多组观测结果，相互比对，由此来审定正确的南北方向。
郭守敬的设计富含创新精神。传统的立表定向，大都是观测日出和日落或日中时太阳的方向。郭守敬则另辟蹊径，取上午和下午两次等长的表影，平分它们的夹角，以此得到正确的南北方向。这在方法上是一种创新。
郭守敬还采用了多组观测的办法，以提高观测结果的精确度。近代误差理论认为，使用多组观测的方法，可以避免过失误差，减少偶然误差，有助于提高观测结果的精确度。因此，郭守敬的做法符合科学的误差理论。另外，郭守敬对不同季节太阳赤纬变化幅度对测影定向影响的考虑，也十分周到缜密，表现了一位实验科学家的良好素质。
郭守敬利用正方案测定方向，取得了十分惊人的成果。现在河南登封告成镇的观星台是郭守敬领导修建的，它那长达一百多尺的测影石圭是郭守敬测定南北方位的直接见证。1975年，北京天文台曾派人去那里用近代科学方法测定当地子午线的方位，他们的测定结果表明，石圭遗址的取向同当地子午线的方位吻合得相当好。七百年前的郭守敬能取得这样的成就，的确令人钦敬。它同时也表明，正方案的研制成功，是中国古代立表定向发展到了成熟的标志。
指南针的演变
测定方向，立表定向这一天文学方法是基本方法，但就人类社会进程而言，物理学方法，即指南针的发明和应用，却具有更大的意义。因此，探讨中国计量史的发展，对指南针在中国的演变情况，不可不提。
中国古代对磁现象的认识非常之早。远在两千多年前，人们已经发现了天然磁体。《管子·地数》篇有“上有慈石者下有铜金”的描述。所谓“慈石”，就是天然磁体。《吕氏春秋·精通》篇也说：“慈石召铁，或引之也。”这是明确提到磁石吸铁的最早记载。古人把磁石写成“慈石”，就是从它能够吸铁这一现象出发，认为它是“慈爱之石”。可见，在中国，早在先秦时期，人们对磁石的吸铁性已经有所了解。
但是，知道磁石引铁，并不意味着能够发明指南针。因为指南针的发明必须以对磁石指极性的发现为基础，而在没有任何磁学背景知识的情况下，要发现磁石的指极性，又谈何容易。
值得庆幸的是，中国古人很早就跨越了这一天堑，发现了磁石的指极性。遗憾的是，对于该发现的具体过程，至今仍一无所知。我们知道的是：至迟不晚于东汉时期，利用磁石的指极性，人们已经成功地制成了磁性指南仪器。古人把它叫做司。南。
司南这一名称的出现，并非始于汉代。《韩非子·有度》篇已经提到：“故先王立司南，以端朝夕。”类似的文献还可以再举出一些。但是在先秦的这些文献中，并没有谈及它的构造、形状和使用方法，我们无从判断它是否是利用磁石的指极性制成的。最早可以供我们明确做出这种判断的文献，是东汉王充的《论衡》。《论衡·是应篇》提到：“司南之杓，投之于地，其柢指南。”“杓”是一种勺子，“地”指地盘，是一种光滑的、有方位刻度的金属底盘。把司南这种勺子放在这种光滑的金属盘上，它就会自动指南。这样的司南，只能是一种磁性指向器。由此可知，王充所说的司南，是中国指南针的始祖，这是没有什么疑问的。
根据《论衡》的描述，参考其他有关旁证，王振铎对古代司南做了复原。他利用整块的天然磁石，轻轻地将其琢磨成勺子的形状。磁石的南极琢磨成勺子的长柄(柢)，并使勺子的重心恰好落在其底部的正中央。使用时，将它放在一块以青铜做成的地盘中央，用手轻轻一拨，使它转动，等到勺子停下来的时候，它的长柄就会指向南方。王振铎的复原，直到今天，绝大多数学者都是赞同的。
但是，用天然磁石磨制司南，也有许多不便之处。天然磁石磁性弱，怕震动，磨制过程中稍有不慎就会使其磁性减退甚至消失，重心也不易控制，故以其琢磨司南，成品率低，磁性也比较弱，而且与地盘接触时转动摩擦阻力大，效果受到影响，所以它的使用和流传都受到一定的限制。
传统司南必须改进，才能满足实用要求。改进的第一步是要找到人工磁化方法，在材料上做出突破。这一步，花去了中国人几百年的时间，到北宋初年，才算完成。北宋仁宗年间，宰相曾公亮受皇帝的委托，主持编撰《武经总要》一书，其中提到指南鱼的制作方法，包含了利用地磁场进行人工磁化的知识。根据《武经总要》前集的记载，指南鱼的制作和使用方法大致是这样的：用薄铁皮剪成长2寸、宽5分的铁鱼，把它放在炉火中加热，等烧到通红的时候，用铁钳子把它夹出，让鱼尾正对着北方，向下倾斜一些，蘸入水盆中。拿出来以后，指南鱼就做好了。平常，把它放在密封的盒子中保存，使用时，用碗盛水放在无风之处，把鱼平放在水面上让它漂浮起来，鱼头自然就指向了南方。
《武经总要》讲述的指南鱼制作方法，富含科学道理。我们知道，在一般状态下，铁片本身虽然包含了大量磁畴，但这些磁畴的分布是杂乱无序的，因而铁片对外不显磁性。只有当这些磁畴沿一定方向排列起来时，铁片才在宏观上具有一定的磁性。把铁片烧到通红，使其温度高于769℃这一居里温度，这时铁片的磁畴瓦解，变成顺磁体。铁片出炉后取南北方向放置，即顺着地球磁力线摆放，冷却过程中，磁畴重新形成。由于地磁场的作用，磁畴在复成过程中排列具有一定的方向性。突然入水，急剧冷却，磁畴的排列被固定下来，铁片变成矫顽力较高、永磁性较好的马氏体，浮在水面上，就能指示南北。
《武经总要》所述，只能是经验的总结。因为当时的人们既不知道地磁场，也缺乏对于磁体物理机制的基本了解，在缺乏这些背景知识的前提下，要做出指南鱼这样的发明，依靠的只能是坚持不懈的探索、对生活现象的细心观察和认真总结。特别令人惊奇的是，《武经总要》提到，在蘸水冷却时，要把铁鱼鱼尾朝北下倾一些。今天看来，这种做法的科学性在于它可以使鱼体更接近地磁场方向，从而使磁化鱼的有效磁场强度得到加强。因为地磁场具有比较大的倾角，像在长江、黄河一带就有四五十度，如果将鱼水平放置，那只有地磁场的水平分量能起磁化作用，它比地磁场的总强度要减少约40％-50％。这就是说，早在11世纪中叶，中国古人就已经知道如何在实践中利用地磁倾角了，而这时他们对于地球磁场本身还缺乏必要的了解，这真是一件咄咄怪事。由此，我们对古人敏锐的观察力也不得不再一次表示叹服。
指南鱼的制作虽然富含科学道理，而且用水浮代替了勺形司南在地盘上的转动，减小了摩擦力，提高了指向的灵敏度和准确度，但它毕竟制作比较麻烦，获得的磁性也不够强，使用也说不上方便，所以，它在后世并未得到广泛采用。为后世所广泛采用的是北宋初期出现的用铁针在天然磁石上摩擦磁化的方法。这一方法的出现，使得指南针的制造真正有了可能。
在历史上，最早记载摩擦磁化方法的学者是北宋着名科学家沈括。沈括在其《梦溪笔谈》卷二十四说：“方家以磁石磨针锋，则能指南，然常微偏东，不全南也。”所谓方家，指古代的方士，他们在其择坟地、看风水以及有关炼丹、建筑等活动中，需要用指南针定向。正是他们发明了用磁石摩擦铁针使之磁化的方法。这是科学与迷信奇妙的结合。铁针经过与磁石摩擦获得磁化，因其体形细长，它的退磁因子比指南鱼更小，更利于长期保存。其指向精度也远高于勺形的司南和鱼状的指南鱼。这种方法，因其简便易行，且效果良好，所以它一出现，很快就引起人们注意并得到推广。在19世纪现代电磁铁出现之前，几乎所有的指南针都是以这种人工磁化方法制造的。
“常微偏东，不全南也。”这句话包含了十个重大物理成就：当时人们从实验中发现磁针指向与地理子午线并不一致。从今天观点来看，这就揭示出了地磁偏角的存在。当然，这一发现的技术难度并不算大，中国古代天文定向方法发达，只要将磁针定向与天文定向加以比较，就可以发现二者之间的差异。不过，在西方，一直到了1492年，哥伦布横渡大西洋发现新大陆时，才观测到地磁偏角的存在。这比起中国古人，在时间上是远远落后了。
磁针的出现以及地磁偏角的发现，都比沈括的时代要早一些。北宋初年，司天监官员杨惟德写了一本相墓书，叫做《茔原总录》，其卷一提到“丙午针”。“针”无疑指磁针，“丙午”说明针的指向不在正南，而是偏向东南。这些发现，都比沈括要早几十年。不过，沈括却是历史上最早记载使用摩擦法得到人造磁体的学者。
摩擦法的出现，使得人们掌握了磁针制造方法。接着的一个问题是：如何安置磁针，使其运转灵敏而且稳定？对此，沈括做了探讨，他接着上面的引文说：“水浮多荡摇，指瓜及碗唇上皆可为之，运转尤速，但坚滑易坠，一不若缕悬为最善。其法取新纩中独茧缕，以芥子许蜡，缀于针腰，无风处悬之，则针常指南。”这里沈括介绍了指南针的四种装置方法：①水浮法。在磁针上穿上几根灯芯草，就能浮在水面上，指示南北。其缺点是荡摇不定。②指甲旋定法。将磁针放在手指甲盖上，因为指甲盖光滑，磁针就能旋转指南。其缺点是易坠落，不稳定。③碗唇旋定法。将磁针放在光滑的碗口边缘，旋转起来更加快捷，但更易坠落。④丝悬法。以独股新茧丝用蜡少许粘于针腰，挂在没有风的地方，即可指示方向。沈括特别推崇这种方法，认为它既克服了水浮法的荡摇不定，又避免了指甲、碗唇法的坚滑易坠，同时还具有较高的灵敏度。沈括的看法是有道理的。而且，该法讲究用独股新茧丝，这种茧丝比较坚韧，又避免了多股合成后形成固有扭矩。用芥菜籽那么大的一点蜡把丝粘于针腰，这一考虑同样在于避免用丝系结针腰时产生扭矩，从而影响测试结果的准确度。从这些因素来看，沈括的考虑是相当周密的。
但是，丝悬法的使用毕竟还有其不便之处，人们仍在继续探讨指南针的安装方法。到了北宋末年，一种新型的指南针诞生了，这就是南宋陈元靓《事林广记》卷十所记载的木刻指南龟。据该书的记载，指南龟是用木头刻成乌龟的形状，龟的腹部开有一槽，槽中按选定的极性装入磁石，用蜡封好，在龟的尾部插入一根针，用以指示方向，龟的腹部下方挖一小孔，再将它支在竹针上。拨动木龟，使其旋转，当它静止后，龟头指北，针尾即指南。
指南龟最值得称道之处在于它的支承形式。从原则上看，它与近代罗盘的支轴形式是一致的。到了明嘉靖年间，出现了旱罗盘。旱罗盘一方面继承。了南宋将磁针与方位盘联在一起的罗盘传统，同时又发展了指南龟的支承形式，用钉子支住磁针，并且努力减少支点的摩擦力，使磁针得以自由转动。再到后来，万向支架装置也被应用到了指南针上，使得指南针即使在颠簸不定的大海之上，也仍然可以运转自如。
指南针最早发明于中国，大概于12世纪末到13世纪初通过海上航路传进阿拉伯，再从阿拉伯传入欧洲，对人类社会历史进程发挥了其特有的作用，是世界着名的中国古代四大发明之一。
天体方位的测定
空间计量的任务之一是要对天体的空间方位进行测定，以便为制订历法提供基本数据。要测定天体的空间方位，首先要建立相应的坐标体系。对此，古人选用了天体的人宿度和去极度这两个分量，并且采用“度”作为计量单位。一度表示分圆周为36514份时每份的长度。这些，在本书前面。“空间方位的划分”中已经介绍过了。
人宿度是指待测天体与二十八宿中某宿距星的赤经差。为了测定人宿度，事先需要测定二十八宿距星相互之间的距度。古人把这叫做“立二十八宿以周天历度”。在中国现存古籍中，《周髀算经》最早给出了“立二十八宿以周天历度”的具体操作方法。其方法是：选择一块平地，在上面画一个直径为121尺7寸5分的大圆。之所以选择这，个数据，是因为当时人们认定的圆周率是“周三径一”，这样，与之相应的周长就是36514尺，这正好与把天周分为36514度的分度方式相对应，于是就可以按一尺一度的方式，把这个大圆分成36514度。然后，再按照南北为经、东西为纬的方式，建立东西、南北十字线，把圆分为4个部分，每部分合91516度。这样，准备工作就完成了。
