这些空心球说明早在五六千年以前，我们的祖先就已经有了不少有关球和球面几何的知识。
(3)花纹中的标准图形
新石器时代遗留下来的陶器很多。这些陶器上的花纹和图案，对研究古代几何的起源非常有用(花纹和图案的做法有两种：一种是在陶器的表面上刻划；另一种是用不同的颜色描绘)。河姆渡的彩陶上有明显的平行线和不太规则的正方形。半坡出土的彩陶上提出了几何图形来源的一种途径：由某种自然物(如鱼)的形状逐渐演变成几何图案。有人作过这种演变的推测，看来是合乎实际的。即由鱼形演变成不规则的棱形或菱形、三角形等，再变成比较规则的几何形。而且可以从实物上较清楚地看到：有上下两条鱼，头朝一侧；还有的两头相对、沿着两个方向进行。
西安半坡出土的彩陶上的几何图案有平行线、折线、三角形、菱形、圆、长方形等等。三角形又可细分为任意三角形、直角三角形、等腰三角形。这些事实说明，早在六千年以前，我们的祖先已能够绘制初等平面几何中的大多数直线图形。
从稍晚期的新石器时代遗址出土的陶器花纹来看，人们的几何知识有了发展。比如在下潘汪遗址出土的陶盆上有很多几何图案，圆弧形和其他曲线形图案有了显着的增加，盆口沿上的花纹表现出准确的等份圆周图形。甘肃省景泰县张家台出土的新石器时代的彩陶罐上有很规则的平行线、三角形、圆弧等几何图案。
5.数的演进
人们在从事生产或其他活动中，数目多次反映到人的头脑中来，再通过长期思考，进一步抓住它的特性，从感性认识上升到理性认识，从而形成了数的概念。
(1)十进位制
数的概念形成于新石器时代末期，完成于奴隶社会初期的商代。商代是我国奴隶制经济发展时期，科学、文化都达到了较高水平：当时已能大规模地炼铜；已经发明了车子；有了历法；农业生产技术也有了很大提高。特别是甲骨文和金文的出现标志着我国的文字从简单的象形逐渐发展到成熟的阶段。所有这些技术和文化成就对于数学的发展都起了推动作用。
在甲骨文中许多数目字，其中最大的数目字已经达到“三万”。现举百以上的例子如下：
二百：“二百人王”
三百：“左右中人三百”
四百：“四百”
九百：“乎……九百人”
一千：“丁未卜……王登千人”
五千：“五千”
八千：“人八千在驭”
一万、三千：“登妇好三千、登旅万”
三万：“癸卯卜……其三万”
甲骨文的字形有些和现代文字不同，但是我们可以清楚地看出：后来汉文中的数目字是从甲骨文演变来的。甲骨文中的数目是十进位的，是以前不完善十进制的完善化和必然的发展。从1到10的每个数都有文字表示，还有“百”、“千”、“万”等也都有相当的文字符号。
在一片甲骨文上有由1到10的全部十个自然数，没有和实物连在一起，说明商代已经有了抽象的自然数概念。
在商代的记数法中还有一种六十循环的办法，这就是主要用在历法上的所谓“天干地支”。天干有十个，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二个，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。从干、支的头一个字甲、子开始依次各取一各，配成甲子、乙丑、丙寅……干或支完了接着再取，直到癸亥，共取六十次。以后又是甲子等出现了循环。在一片甲骨上就有一个完整的甲子表，至于零散的甲子纪年纪日的甲骨就更多了。这种干支纪年法后来一直沿用，现在农历还在使用。
商代至少应有加法、减法和乘法运算，只是没有明确的记载。实际上，甲骨文只能记录结果，而不能记载算法和运算过程。但是通过一些实例可看出其算法。在一片甲骨上，记载了如下的数字：
五十犬，五十羊，五十豚，
三十犬，三十羊，三十豚，
二十犬，二十羊，二十豚，
十五犬，十五羊，十五豚。
全是5的倍数，而前三排又都是10的倍数。
周以后有了运算记载，例如在周代的一件铜器上有“东宫乃曰：偿禾十秭，遗十秭为廿秭。(如)来弗偿则倍秭。”秭是后来的大多数名称，指万亿，这段文字是说偿还奴隶主乃庄稼(禾)十秭，同时要送给他四十秭。实际上这已包括10+10=20和20×2=40两种算法——加和乘。
战国时，李悝倡“尽地力之教”，他算了一笔账：“今一夫挟五口，治田百亩，岁收亩一石半，为粟百五十石(1.5×100=150)，除十一之税十五石(150÷10=15)，余百三十五石(150-15=135)。食：人月一石半，五人终岁为粟九十石(1.5×12×5=90)，余有四十五石(135-90=45)，石三十〔钱〕，为钱千三百五十(45×30=1350)，除社闾尝新春秋之祠用钱三百，余千五十(1350-300=1050)。衣：五人终岁用千五百，不足四百五十(1050-1500=-450)……”这里已讲到了减法、乘法和除法，特别是最后的一次计算出现了不足，用现代的观点来看就是有了负数。李悝未必懂这个意义，但是却为负数概念的出现提供了来源。
由于重复计算的需要，我国古代早已出现了乘法口诀，但是直到春秋战国时代的文献中才有了不完全的记载；而且次序与现代不同，由“九九八十一”开始，因此又称这种口诀为“九九”。
(2)分数应用
至迟在春秋战国时代我国已经有了分数的概念。在春秋战国(特别是战国)的着作中记载了许多分数及其应用的例子。当时社会上思想活跃，生产活动的范围有所扩大，技术水平也有提高，实践中提出了许多新的数学问题。比如不够一个整体的物体就不能用自然数表示其数量，而必须创造新数。在《墨子》、《管子》和《商君书》等书中所记载的分数大都是由于分配而引起的。例如《墨子》讲到食盐的分配时就有“二升少半”和“一升大半”的记载。其中“少半”和“大半”即1／3和2／3，还有“半”为1／2，都是当时分数上专门的名词。《管子》在讲土地种植的分配时有“十分之二”、“十分之四”、“十分之五”、“十分之六”、“十分之七”等份数。在另一处也讲到了“五升少半”、“三升少半”。在《商君书》中有这样的记载：“地方百里者，山陵处什一，薮泽处什一，溪谷流水处什一，都邑蹊道处什一，恶田处什二，良田处什四”，就是说一百平方里的地面上各种地貌所占的比例，前四种都是1／10，后两种各为2／10和4／10，加起来为10／10(=1)。战国时代在制造量器“商鞅量”时也用到了分数，规定“积十六尊五分尊一为升”。“尊”就是寸，这句话是说1升=1615（立方)寸。
在《考工记》中记载了由于制造各种器具和器具规格的需要而大量使用了分数，特别是有了分数运算。例如“六分其轮崇，以其一为牙围，三分其牙围漆其二”，这里说的是1牙围=1／6轮崇；一牙围的2／3要上漆。《考工记》中还记载了一种叫做殳的竹制兵器的规格，“凡为殳五分其长以其一为之被而围之，叁分其围去一以为晋围，五分其晋围以其一为首围”。意思是说1围=1／5长，1晋围=1-13=33-13=23，1首围=1／5晋围。这些事实有力地说明了我国早在公元前四、五世纪就已建立了分数概念并有了广泛的应用。
春秋战国时由于制造衡器和乐器的需要，也用到了其他一些数学知识。例如战国墓葬中出土的天平砝码的重量以1、2、4、8……递增，相当于以等比数列20、21、22、23……递增。这种数列的出现，显然是当时以十六两为一斤的规定而来的。在乐律研究中有“三分损益法”，用到分数运算。在《管子》一书中有“先主一，而四之三开，以合九九”的记载，相当于1×34=9×9=81，这已有了指数的初步观念。
6.实用数学
和数的概念一样，形的概念在我国奴隶社会也有新的发展。为适应各种社会活动(特别是生产实践活动)的需要而大大丰富了几何知识的内容。在夏商时代已开始兴修水利工程，传说夏禹曾领导治水，甲骨文有了“正河”的记载。“正河”就是兴修水利。当时城堡、房屋建筑的规模也很大，所有这些工程都要用到测绘和几何学知识。
(1)测绘工具的发明
土木工程和工具的制造等都需要测量，而测量又需要一定的几何知识和必要的工具。例如在河南偃师二里头发掘出来的早商时代宫殿遗址，规模宏伟，光是台基面积就约有一万平方米，墙基很直，柱孔排列整齐，分布均匀。这样的大型建筑，必须通过测量才能办到。
早在商代已经有了“规”、“矩”二字的象形文字，那么规矩的发明可能还要早得多。在汉代的许多画面上常有“伏羲手执规，女娲手执矩”的图象，规是两脚状，和现在的圆规相似，矩是一直角拐尺形。
公元前二世纪成书的《周髀算经》卷上记载：“……故折矩以为句广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘，得三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”这是在禹治天下时有了“勾三股四弦五”这个勾股定理的特例。
商代已普遍使用车子，仅在河南安阳殷墟就几次发现车子的遗迹。制造车子需要用到几何知识。轮是圆的，而辐有毂向外射出把圆周角等份，也把圆周形的轮等份。1972年挖掘出来的车轮有22根圆柱形的辐，排列整齐。车的轮牙一般是由几块弧形构件合成，这就产生了用几段圆弧合并成圆的概念。要做到这一点，事先必须作精细的测绘和必要的计算。但是显然应当使用测绘工具，否则车轮是做不成的。
(2)几何测绘方式
西周以后的春秋战国时代由于战争和生产的需要，各地修建了不少堤防和水利工程。为了使各项工程合乎需要，必需进行测量和计算。早在两千四、五百年前，水利工程中要进行距离、高低、厚薄、土方等测量，同时还包括工程期限、劳力多少和分配、所需粮食、材料等方面的计算。很显然，在这类工程中会遇到大量的几何问题，必需运用几何知识才能解决。如计算土方实际上就是体积计算。最简单的立体是立方体，稍复杂一点的是正四棱台，都应当有计算法则。城墙的修筑，同样需要几何知识，《墨子》中有关于城墙、城门、垛口、城楼等一系列的计算问题，都与立体几何有关系。
春秋时期，在一些经济发达的地区已经有了封建生产关系的萌芽。公元前594年鲁国(今山东南部)开始实行“初税亩”制度，不论公私田地要按亩纳税。这就要求人们去研究面积的计算问题。虽然在当时的书籍上还没有找到有关面积计算的记载，但是估计当时对于正方形、长方形、三角形、梯形、圆等的面积计算法则已相继产生了。
在春秋战国之际的遗物中，有各种形状的磨制品，其中最引人注意的是1971年在山东临溜郎家庄出土的约公元前500～400年的殉人墓中水晶珠。这种水晶珠呈简单的半正多面体形状，通过观察，可知其磨制过程：先把水晶块磨成正六面体，再磨去八个角(有一定要求)，便成为一种半正多面体。它的表面由六个相等的正方形和八个相等的正三角形构成，并且所有的二面角都相等。在同一殉人墓中出土的一件漆器上画有很规则的同心圆、正方形、平行线、三角形、平行四边形、菱形、长方形等各种几何图形。
战国时期已经有了很好的技术平面图，例如在一些漆器上有船只、兵器、建筑等图形，其画法符合正投影原理。在河北省出土的战国时中山国墓中的一块铜片上有一幅建筑平面图，表现很高的制图技巧和几何水平。
当时，在制造各种工具、器械、乐器过程中，常常会遇到需要把两个棒形物曲折相接，或者是将金属板、木板作成多边形，这就要用到角的概念。在《考工记》一书中有不少这方面的记载。这本书对于角和几种特殊角都有专门名称，把非直角的角叫着“倨句”，“倨”是钝角，“句”是锐角。直角叫做“倨句中矩”或简称“一矩”，例如“磬氏为磬：倨句一矩有半”。“磬”是古代的一种石制乐器，常把大小不等的几个磬按大小次序为一组吊起来敲打发声。“磬氏”是指制造石磬的工匠。“倨句一矩有半”是指石磬背部的折角的规格，其大小是一个直角(矩)再加上半个直角，相当于。90°+12×90°=135°。在同一书中还有关于车辆规格的记载，包括一些构件角度大小的规定，并且把不同角度的构件取了专门名称。
《考工记》还记有“筑氏为削：合六而成规；天子之弓，合九而成规；诸侯之弓，合七而成构；大夫之弓，合五而成规；士之弓，合三而成规。”是说制造弓的规格，每张弓都成一圆弧形状，使几张弓合在一起构成圆周。但是要根据当时的社会等级的要求去制弓。一般人用的弓六张合在一起为一圆周，天子用的弓九张合在一起为一圆周，等等。这里已经包含着明确的等份圆周概念。如果把弓上弦联在一起考虑，就构成了圆内接正六边形、正九边形、正七边形、正五边形、正三角形。
