类似地，如果学生没有理解摆在他面前的问题，那么这个问题就很可能不表现为一个问题。学生必须对问题有足够的理解，以至觉得问题的解答在他们的智力范围之内，只有在那时，它才有可能表现为学生的问题。实际上，在学生看来，如果问题的解答似乎超出了他们的智力水平，那么，他们就很可能没有信心去追求问题的解答了。
有时学生对实际上有能力解答的问题，也会感到超出了他们的智力范围。在这种情况下，教师就有责任保证学生认清在什么情况下问题的解答是自己力所能及的，在学生认识到自己有能力解答某个问题以后，还有一件重要的事就是要弄明白问题的所求是什么。下述问题可以作为完成上述教学任务的指导方针。
1．学生理解问题中的术语的确切涵义吗？比如，如果遇到下列问题：已知等边三角形的中线长为一个单位，试用直尺和圆规求作此等边三角形。那么要理解这个问题，首先必须拥有等边三角形及三角形的中线等方面的知识。
2．学生考虑了所有有意义的信息吗？
认出问题中的已知信息对于探索和导出有意义的知识至关重要。许多学生解题不成功，是因为他们不能确定或找出问题的已知条件。
有时，学生不能解决问题，是因为他们没有用到所有的已知信息，他们或许已经透彻地分析了一部分信息。但如果忽视了某些已知条件，那么就可能漏掉了解题的必不可少的信息。例如，假设要求学生确定顺次连接等腰梯形各边中点所得四边形的性质。如果学生忽视了“梯形是等腰的”这个事实，那么他们的分析只能引导他们得出该四边形为平行四边形的结论。尽管这个结论是正确的，但它不是问题的完整答案。而如果解答者考虑了“梯形是等腰的”这个已知条件，那么，他的分析将使他发现四边形不仅是平行四边形，而且是一个菱形。
3．学生能说明问题的所求吗？
显示学生理解问题的证据，包括他们能确认问题答案的性质。答案是一个数还是一个集合的元素？或是求作图形？答案可以由图像、方程式或某些别的数学对象构成。所以重要的是，在阅读完问题后，再认识其答案的性质。认识答案的性质，还能为学生着重于构思解题策略提供方向。例如，考虑下述所谓的抽屉的状态问题：设想1000个关闭着的抽屉排成一列，另外有1000个人站成一排，现在假设第一个人把每一个抽屉都打开，第二个人每隔一个地把抽屉关上(从第二个抽屉开始关)，第三个人每隔两个改变抽屉的状态(如果它开着，就把它关上，如果它关着，就把它打开)，第四个人每隔三个地变化抽屉的状态，这个过程继续下去，直到这1000个人全部完成了对抽屉状态的操作。问最后哪些抽屉开着？
这个问题的答案是由抽屉编号构成的集合。如果学生理解到这点，那么他们可能会使用的一种策略就是去找出这个集合的元素，由此就有希望找到一个模式，使他们能据此预测其他元素。
一般而言，当问题答案构成一个集合时，一种很有用的策略是设法产生或找出这个集合的一些元素，并希望通过这些元素得到产生其余元素的预感或线索。
尽管知道问题答案的性质，未必能保证找到可行的策略。但是，有些问题通过认识答案的性质，确实能降低解答的难度。应该鼓励学生去确定构成答案的数学实体的种类，并鼓励他们尝试猜想怎样才能产生这个数学实体。
4．学生能用自己的语言叙述这个问题吗？
如果适合的话，学生能利用草图解释这个问题吗？如果学生能显示他们知道问题中涉及到的所有术语涵义，并能找出已知的信息，能确定答案的性质，还能用自己的语言叙述问题，那么教师就有切实的把握认为，学生理解了问题。
二、帮助学生搜集有意义的思维材料
为了解决问题，解题者有必要找出对解答问题有关的信息。
不成功的问题解决尝试，通常是由于没有从已知条件中导出足够的信息所致。实际上，不仅需要确定哪些是题目中已知的，而且需要弄清楚已知条件暗示了什么，即由已知的信息(有时也包括有假定的答案或解答)推出的关系，找出这些关系，是获得有意义的思维材料的方法之一。另一种方法是考虑较为简单的而又与给定问题有关的问题，这些问题也许是把题中的某些而不是全部的条件考虑进去。有意义的信息也可以通过认识或找到类似而又有成功解法的问题来获得。解题者在寻找解答过程中受阻，有时是因为他们坚持从有限的角度收集有关的信息，只从很狭窄的角度收集有关的思维内容，在这种情况下，解题者就需要“打破框框”寻找有用信息的新来源。下面我们进一步讨论并举例说明这些技能。
1.通过分析已知条件来帮助学生搜集信息
一旦所有的已知条件都被确定，教师就要鼓励学生由已知条件尽量导出一些有关信息，这是非常重要的，即使可能有些导出的信息看上去对于问题的解答并不见得有用，也应当导出这些信息。教师也许知道哪些信息是有用的，哪些信息是无用的。但对于设法解决问题的学生，有必要这样收集信息，然后再去决定哪些信息对于解题最有作用，所以学生需要训练如何获取信息，如何从中确定最有用的知识和信息。
如果教师劝阻学生不要去导出那些教师已知道对解答无用的信息，那么至少会产生三种不利的后果。第一，学生在获得信息方面不够大胆，但为了得到奖赏，他就要求助于猜测教师会怎么想；第二，不利于学生自己决定哪些信息是无用的；第三，可能会因此压抑那些具有独特潜力和洞察力的学生的解答。
例如，对于求作等边三角形这个问题，让我们确定它的已知条件能导出什么推论。已知条件是什么呢？题目给我们的是：等边三角形的中线，用直尺和圆规求作出等边三角形。那么对于等边三角形的中线，我们知道些什么呢？首先，任意三角形的中线平分与它相交的边，其次，任何三角形三条中线都交于一点，这一点分每一中线成2∶1的比。进一步还可知等边三角形的三条中线满足下述这些条件：
(1)每条中线都垂直于与它相交的边；
(2)每条中线都是角平分线；
(3)三条中线分别相等；
(4)而且，我们知道，等边三角形三边相等、三角相等，所以，每一个角都是60°。
我们还知道，利用直尺和圆规可以进行下面的作图：
(1)可以作出与已知线段或已知角相等的线段或角；
(2)可以平分已知角和已知线段；
(3)给定一条直线，过其上(或其外)一点可以作出与它垂直的直线；
(4)可以作出一些特殊角如90°，45°，60°，30°。
上述哪些信息对于解决本题是需要的呢？
为了回答这个问题，一个很有帮助的方法是认为这个问题已解决，看看通过分析假定的答案能获得什么信息。设想我们作出了等边三角形，如下图所示，通过检查已知条件，我们可以进一步推出：△ABD和△CBD的三个内角分别为30°，60°，90°，这个分析有助于解决本题吗？已知一条直角边，能作出内角分别为30°，60°，90°的三角形吗？可能要用到哪几种基本作图？
在下图中，三条中线相交于O点，由几何中的三角形重心定理可知：
BOOD=AOOF=COOE=21
我们还有结论：BD=AF=CE，这些考虑能使得我们求出线段BO，AO和CO的长吗？怎样求作此△？如果∠FAC=∠ECA=30°，那么，我们能求出∠AOC吗？∠AOC和∠AOB相等吗？∠AOC和∠COB相等吗？只用直尺和圆规能作出分别与∠AOC，∠AOB和∠BOC相等的角吗？你还能设计出不同于第一种方法的解法吗？
等边三角形ABC
注意，设计第二种方法，要用到一些在第一种解法中未用到的信息，那么是什么信息第二种方法要用到而第一种方法未用到呢？为什么？上述对这个问题的分析充分说明，教师对待学生的建议应该是开放的，以及在告诉学生什么信息对解题有用时应该谨慎从事。
从已知条件和假定的答案导出信息的策略是攻克问题的有力方法。这种方法尤其适用于解答几何问题。
当然，你可能想知道到底应在什么地方开始分析假定的答案。实际上，两个分析过程是交织出现，相互促进的。正是通过它们之间的相互作用，人们获得了需要的信息。
下面举例说明这种策略在另一种场合下的运用，考虑下述问题：
两条抛物线的焦点重合于y轴上，它们的顶点都在y轴上，且位于焦点的两侧(但不必离焦点等距离)，证明：这两条抛物线相交成直角。
我们第一步就是通过尝试画一个草图来理解问题。以y轴为对称轴，抛物线的一般方程是：(x-0)2=4p(y-k)，其中p是焦点与顶点间的距离。设抛物线的顶点坐标是(o，k）。因此，下图中抛物线C1的方程是：x2=4p1(y-k1)；抛物线C2的方程是：x2=4p2(y-k2)。现在，让我们来分析问题的结论，两曲线相交成直角指这两条曲线在它们的交点处的切线是互相垂直的。由此可知，交点处的两条切线斜率之积应等于-1，于是，问题变成：“我们怎样才能确定两条曲线在交点处的切线斜率之积等于-1的事实？”为了回答这个问题，我们必须求出切线的斜率。
这就提示解答者应当返回到前面由已知条件导出的抛物线方程，根据它们去确定交点处的切线的斜率。用代数方法不难求得两曲线的交点，而交点处的切线斜率则能通过求曲线方程的一阶导数来确定。通过求导和代入焦点坐标我们得到下面两式：第一条抛物线在点A的切线斜率=-P2(k1-k2)P1(p1+p2)。第二条抛物线在点A的切线斜率=+P1(k1-k2)P2(p1+p2)。将二式相乘并化简，得-k1-k2p1+p2，解答者到此可能受阻，这个式子怎么等于-1呢？
我们使用了所有的已知信息吗？没有！我们还没有用到抛物线具有相同的焦点这个事实。这个信息是怎样使我们彻底解决本题的呢？
向学生征求信息的方式可以多种多样。比如一些较为明显的蕴涵关系可以让差生来提，或者让差生同意由其他学生自愿提的信息。教师也可以先接收某个学生陈述的内容，然后叫其他同学加以证实或否定。在获得了有意义的信息以后，教师应当避免直截了当地告诉学生哪信息有用哪信息无用。虽然不应让学生完全置于窘境之中，但让他们自己决定这问题是很重要的。
有时，解答某个问题所使用的分析方法能充当分析另一个问题的基础。有些问题十分相似以至于用这个方法完全可行。为了举例说明这个方法在实际中如何运用，我们看一个几何问题：求作两个不全等的圆的外公切线。下面，我们先通过分析介绍这个习题的解法，然后我们再提供一段课堂对话，它是一段虚拟的教师帮助学生求解一个类似的问题的记录，这个类似的问题是：求作两个不全等的圆的内公切线。作两个不全等的圆的公切线首先考虑求作两个非全等圆的外公切线问题。下图描画了一条外公切线。根据几何定理，可知：AO⊥AB，OB⊥AB，其中A，B是两个切点。洞察力加上分析将导致我们去作过点O"且平行于AB的线段，这样便得到一个矩形ABO"C，于是CO"将和一个以O为中心，以r2-r1为半径的圆相切。如果我们只利用两个给定圆能求出C点，那么我们就能确定点A，进而能确定点B。于是问题化为确定点C，进而可确定点A。点B的确定，则可以用两种方法，或者过点O"作垂直于CO"的直线，或者过A点作垂直于OA的直线。
那么，上述对类似的问题所做的分析对解答求作内公切线问题有什么帮助呢？或者说，通过回想这个类似问题的分析，能使我们获取关于内公切线问题的有意义信息吗？下面虚拟的课堂教学过程是基于该思想方法设计的。
1.第一步：引导学生弄清楚这个问题
开场白：这是一个求作两圆公切线的问题。相信大家还记得，我们前面讲过了如何求作两圆的外公切线，大家还记得我们对那个问题的分析吗？(学生肯定会回答：记得)很好，那么现在我们的问题是要求作两圆的内公切线。(通过提问引导学生复习内公切线的概念)，有谁能说出内公切线的定义吗？(稍停，指定一个中上水平的学生作答，视回答的情况，作必要的补充和重复，以使学生完全弄清楚这个概念，并注意强调内公切线除了要与两圆相切外，还必须与连心线相交，以此显示与外公切线的区别)。为了有助于大家对这个问题的分析和理解，下面想请一位同学到黑板上来画一个草图(稍停，叫一位同学到黑板上作了一个如下图所示的草图)。
作两圆的内公切线
2.第二步：引导学生寻找解题思路
提问：有谁能告诉大家，怎样作出内公切线？(这是一个大问题，目的在于激发大家思考，这个问题不是一下回答得了的。可能有各种各样的猜想。对此，教师要有较敏锐的判断能力和较好的应变能力及反应能力，下面是一个设想的情节)
学生：可以这样作，先把两圆的连心线上的线段MN平分，设分点为P(学生的回答看来是根据直观作出的判断，老师容易知道，作这样的点对作公切线毫无帮助，但老师不必直接否定学生的想法，而应引导他说出自己是怎样想的，以暴露学生的思维过程)。
老师：看来有点意思，那么接下来怎么做？
学生：只要再过点P作两圆的切线PQ，PR(学生的这个回答暴露了他是基于对草图的直观理解作出的，他误以为内公切线与连心线可能交于P。这种错误，是学生在解几何题时最易患的毛病。对学生的这个错误答案，老师不应直接否定，更不应去批评、指责，而是应该设法引导他与其他同学用批评的眼光来审视这个错误答案，让他们从中受到启发和教育)。
老师：你怎么知道这两条切线会在同一条直线上呢？
学生：(想了想)我能证明这一点，我敢肯定(看来学生被直观的草图束缚了自己的思维，他也许真的想出了一个所谓的证明，那肯定是错误的。这一点老师完全能判断出，但老师不应去与学生争论，也不必花时间去听他的所谓的证明，而是引导别的同学，提出不同的意见)。
老师：也许可以证明，其他同学同意他的结论吗？(引导学生发表不同的看法，经过一番观察、分析、争论，结果发现那位学生所提出的方法只适用两圆半径相等的情形，因而使学生认识到，这个解法不行，所以应寻找别的思考角度，经过一番尝试之后，学生们感到提不出别的方法。此时，到了老师引导他们回忆上次已经解决过的类似的问题了，下面的问题应是教学过程中设计好的。)
