当新旧世纪之交时，37岁的希尔伯特收到了一份邀请函，希望他在第二次国际数学家代表大会上作一个主要发言。
三年前，第一次国际数学家代表大会在瑞士的苏黎世举行。希尔伯特没有出席那次大会，他曾阅读了会上提出的全部论文。
希尔伯特到底做了些什么？为什么要他来作报告？
这份邀请函源于希尔伯特丰富多彩的研究活动和他所表现出的巨大的创造活力产生的影响。
在解决果尔丹问题之后的几年里，希尔伯特在学术界的地位上升了。他获得了有薪金的副教授的职位（闵可夫斯基也成了副教授）。
当教授会通过了他晋升职位的同时，他对好朋友闵可夫斯基宣布了自己的婚期。他的妻子喀娣小他两岁，始终如一地和他站在一起，为人直率，并且有非常独到的见解。一年后，他们有了儿子。31岁时，希尔伯特又晋升为教授。
希尔伯特的研究工作有了新进展，他给出了e和π的超越性的新证明。他的证明比以前埃尔米特和林德曼的方法出奇的简单。
希尔伯特已经果断地离开了不变量，又开始献身数论了。
高斯曾把数论描绘成“一座仓库，贮藏着用之不尽的能引起人们兴趣的真理”。数论中有许多数值关系是非常明显的，可证明它们又“异常困难”。素数（仅能被1和自身除尽，素数被称为数系的积木）间的关系是经典数论中最重要的关系。
希尔伯特在德国数学年会上提出了关于将一个域中的数分解成素数？的两个新证明。他虽然刚刚步入这个领域，但他的能力已经深深地打动了其他与会成员。当时数论方面的研究远远超前了时代，以至个别数学家的一些研究成果，也让当时的大多数数学家无法理解它。数学家们希望希尔伯特和闵可夫斯基用简明和清晰的数学表达方式说明它们。会上，经大家公议，请他们“在两年内”准备一篇数论发展现状的报告。
对一个年轻的数学家来说，多数人并不情愿这种分派的任务。但希尔伯特不这样想。他自愿把自己原来的计划放在一边。他阅读了自高斯时代以来的所有发表过的有关数论的著作，对一切已知定理的证明，他都仔细研究，重新评价，判定哪些证明中的原理能推广，对进一步研究更有用。
希尔伯特全力以赴准备数论报告，以至于当报告于1897年问世时，它无论在哪一方面都超出了数学会成员们的期望。他们本来只要求对当前这门理论发展的现状作一个概述，但收到的却是一个丰富而又简单明了、优美而又完整的理论。这份报告为其他数学家提供了大量的富有启发的东西。希尔伯特在这篇报告中有许多创造性工作，其中他所阐明的一条定理，至今仍被称为“定理90”。这条定理中包含的概念导致了现代一门重要数学——同调代数的发展。
紧接着，希尔伯特又转向了几何基础的研究。
公元前3世纪的欧几里得综合整理前人零散的研究成果，运用演绎的方法，把数学知识组织起来，撰写出一部13卷本的巨著《几何原本》。我们现在在初中所学的平面几何内容，主要是源于它。
在《几何原本》中，首先给出了我们熟悉的那些定义：点、线、面等23个定义，然后是5条公理，5条公设。从这些定义、公理和公设出发（这些公理和公设都是不用证明的，它的真实，我们用经验就可以保证了），欧几里得又推出了467个定理。
《几何原本》千百年来广为流传，以至欧几里得成了几何学的同义语。
后来，数学家们想更加完善这门几何学，要简化和充实。他们认识到，欧几里得十分优美精湛的工作，还有瑕点。比如欧几里得第五公设，即平行公理：通过平面上给定直线外任何一点，至多只能作一条直线不与该直线相交。一些数学家怀疑这条公设可以由其他公设推出，因而千百年来多少数学家在“第五公设”上做文章。高斯、鲍耶、罗巴切夫斯基得到了平行公理不能得到证明的结论，并由此引出了“非欧几何”的诞生。新几何的诞生经过几十年刚刚被人承认。在希尔伯特着手几何基础研究之时，一些数学家正在进一步揭示非欧几何的意义。
希尔伯特进入这一领域还能超越前人吗？
希尔伯特真的超越了前人，他为完善欧几里得几何学的伟大工作画上了句号。
希尔伯特的几何，也是从点、线、面开始，也用到了那些老的关系，即关联关系、顺序关系、线段和角的合同关系。但这些定义已经不同于欧几里得的定义有直观的背景。他用老瓶装新酒。他的定义所含的内容更广泛了。
他的定义只相对于他的公理所表达的关系成立。因此，希尔伯特曾形象地说，我们完全可以用“桌子、椅子、啤酒杯”来代替点、线、面。希尔伯特的几何学的一个结果非常有趣。许多年以后，人们发现可以通过一组特定的公理，推导出果蝇的遗传规律。
他的《几何基础》著作一出版，立即吸引了整个数学界。书出版以后的几个月内，成了最畅销的数学书。它被译成了多种语言。连他的学生们都奇怪，希尔伯特怎么能一再闯入新的数学领域，并很快就做出这样有影响的工作呢？
希尔伯特的工作像一股巨大的旋风，人们来不及观察它的无穷快速变幻。希尔伯特又转而研究一个著名的老问题——“狄里克莱原理”。
这个联系着许多伟大人物名字的问题，在物理学上非常有意义，或者说有用。在希尔伯特着手研究这个问题的50年前，大数学家黎曼曾在博士论文中自由地运用过这一原理并给这个原理以他老师狄里克莱的名字命名。当时有一位数学家叫魏尔斯特拉斯，对狄里克莱原理提出批评，认为它不严格。魏尔斯特拉斯又找出了反例，说明这一原理不能永远成立。黎曼认为批判是正确的，但他又不动摇，因为这个原理在数学物理中实在太有用了。人们哀叹：“如此美而又如此有广阔应用前景的狄里克莱原理，已经从我们的视线里永远消失了。”
希尔伯特不同意魏尔斯特拉斯对这个原理的批判，他认为“诱人的简明性和丰富的应用性”是与“它的内在的真实性”相联系的。在黎曼论文发表差不多50年之后，希尔伯特的工作救活了这个原理。不到6页的论文，几分钟内的表述，使狄里克莱原理复活了。惊叹和赞美充满了会场。
在希尔伯特工作的启发下，在修正的狄里克莱原理基础上，黎斯进一步工作，终于在今天，计算机才能成为日益成功的数值计算工具。
希尔伯特的工作已经在数学界产生了巨大影响，一位未来的诺贝尔奖获得者称他是“我所见到的最伟大的天才”。
过去的一个世纪，科学经历了多么巨大的变化！新世纪展现在面前，它是那么诱人。希尔伯特接受了邀请，打算发表一个与世纪之交相称的演说。
希尔伯特考虑两种题材：或者与上届大会上的演讲相应，作一次为纯粹数学辩护的演讲；或者就数学发展中个别问题的重要性讨论一下新世纪数学发展的方向。
希尔伯特与好朋友闵可夫斯基商量。闵可夫斯基建议：“最有吸引力的题材，莫过于展望数学的未来，列出在新的世纪里，数学家们应当努力解决的问题。这样一个题材，将会使你的讲演在今后几十年的时间里成为人们议论的话题。”
然而，对下一个世纪做预言并不是件容易的事情。正如我们今天要预言下一个世纪一样。想一想，如果让我们预言下一个世纪，那将是多么困难！不要说100年，想想10年前后的变化，已经令人瞠目结舌了。中国100年前清王朝还没结束，那时的任何人也想象不到今天的发展！
希尔伯特还是选中了这个题目，他思考着20世纪数学的发展。国际数学家大会预定8月份召开。到6月份了，希尔伯特的讲演稿还没有写出来，大会的日程安排表上因此没有列入他的讲演。
离会期还有20多天的时间，希尔伯特给老朋友寄去了他的讲演稿的清样，讲演的题目是“数学问题”。
1900年8月6日上午，法国数学家庞加莱宣布第二次国际数学家代表大会开幕。
本来有一千多名数学家要参加在巴黎召开的这次大会，他们还将携带家眷参观百年一次的博览会。可当时巴黎天气炎热，时有战争消息，而且物价飞涨，结果出席会议的代表总数不到250人。
希尔伯特的讲演安排在8月8日上午。38岁的希尔伯特的讲演成为数学史上有历史意义的重大事件。他所提出的23个问题，在今天仍是数学家们议论的话题。
“现在，当此世纪更迭之际，我认为正适于对问题进行这样一番检阅。因为，一个伟大时代的结束，不仅促使我们追溯过去，而且把我们的思想引向那未知的将来。”
“数学的有机的统一，是这门科学固有的特点，因为它是一切精确自然科学知识的基础。为了圆满实现这个崇高的目标，让新世纪给这门科学带来天才的大师和无数热忱的信徒吧！”
希尔伯特提出的重要而又有待解决的23个具体的问题，通常称为希尔伯特问题或巴黎问题。
由于希尔伯特崇高的声誉，由于23个数学问题的重大意义，20世纪数学问题吸引了整个数学界。一个数学工作者只要解决了巴黎问题中的任何一个，就可使自己一举成名。希尔伯特的学生，22岁的德恩当年就给出了第3个问题的部分解答，次年获得完全解答。一个世纪以来，希尔伯特问题以巨大的诱惑力吸引着无数的数学家前仆后继，推动着数学的巨大进步。
联系两个世纪的巴黎讲演——过去和未来的聚焦点，它的光芒就是在今天也非常耀眼。
