拉马努金的数学贡献为现代数学家从事数学研究提供了很好的史料,对现代数学的发展也产生了难以估量的影响。
他在堆垒数论特别是整数分拆方面做出了重要贡献,在椭圆函数、超几何函数、发散级数等领域也有不少成果。
他有着很强的直觉洞察力(可称之为“数感”),虽未受过严格数学训练,却能独立发现了近3900个数学公式和命题。
他经常宣称在梦中娜玛卡尔女神给其启示,早晨醒来就能写下不少数学公式和命题。
他所预见的数学命题,日后有许多得到了证实。
由于印度当时的数学水平不高,国内几乎没有人能看懂拉马努金的研究成果。
于是,艾亚尔极力主张他把研究成果寄给英国数学家,最初的两个数学家都未回音。
1913年1月16日,他再次鼓起勇气写信给第三个数学家——剑桥大学教授哈代(G. Hardy);信是这样开头的,“尊敬的先生,谨自我介绍如下:我是马德拉斯港务信托处的一个职员……我未能按常规念完大学的正规课程,但我在开辟自己的路……本地的数学家说我的结果是‘惊人的’……如果您认为这些内容是有价值的话,请您发表它们……”
他还给哈代寄去了一大堆自己研究得出的数学公式和命题;由于没有证明的过程,有些连哈代也不大明白。
哈代在咨询了另一个英国数学家、他的合作伙伴李特尔伍德之后,认定拉马努金是一个难得的数学天才。
拉马努金多少有些运气,哈代的慧眼识金,使得拉马努金能够在1914年进入剑桥大学。
这则动人故事如今已成为数学史乃至科学史上的传奇故事之一,同时作为两个人学术生涯的转折点——拉马努金因哈代而崭露头角,哈代因拉马努金而增光溢彩。
拉马努金是个有神论者,哈代则是个无神论者,但他们却能为数学而进行合作研究;在5年里,他们共同发表了28篇重要论文。
哈代曾将这段经历描述为“我一生中最浪漫的事件”。
因为在数学上的卓越成就,拉马努金31岁就当选为英国皇家学会的外籍会员(亚洲第一人)以及剑桥大学三一学院的院士(印度第一人),走到了他的荣誉最高峰。
由于拉马努金是个虔诚的婆罗门教徒,绝对奉行素食主义,在英国生活那段时间,他自己煮食物,常常因研究而忘记吃饭,加上冬天寒冷的天气,他的身体越来越衰弱。
1917年常感到身上有无名的疼痛,后来才发现他患上了当时难以医治的肺结核病。
拉马努金思乡心切,却因为一战爆发而无法回国。
这一度令他变得抑郁,甚至试图卧轨自杀。
1919年4月,他终于回到印度,但回家之后的生活并不愉快,且病情日渐加重。
1920年4月26日,他病逝于马德拉斯,年仅32岁。
他身后留下了一份使人着魔的、深奥的数学遗产,其中包含了大量没有证明的公式和命题。
许多数学家都致力于这方面的研究,一直到1997年,才总算是完成了其中的一部分,并整理成5大卷出版。